《2025年暑假作业完美假期生活八年级数学湖南教育出版社》

13. 如图，正方形$ABCD$中，$E$是$BC$延长线上一点，在$AB$上取一点$F$，使点$B$关于直线$EF$的对称点$G$落在$AD$上，连接$EG$交于$H$，连接$BH$交$EF$于$I$. 连接$CI$，则下列结论，①$∠1 = ∠2$；②$∠3 = ∠GBH$；③$GD = \sqrt{3}GI$；④若$AG = 1$，$GD = 2$，则$BI = \sqrt{5}$. 其中正确的是____①②④. (填序号)

答案： ①②④

14. 若一次函数$y = kx - x + 3k - 2$的图象经过第一、二、四象限，则实数$k$的取值范围为____$\frac{2}{3} ＜ k ＜ 1$.

答案： $\frac{2}{3} ＜ k ＜ 1$

15. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 3$，$BC = 1 + 2\sqrt{3}$，$E$为$BC$上一点，且$BE = 1$，$F$为$AB$上一个动点，连接$EF$，将$EF$绕点$E$顺时针旋转$30^{\circ}$到$EG$位置，连接$FG$和$CG$，则$CG$的最小值为__4__.

答案： 4

16. 已知$y + 2$与$2x - 3$成正比例，且当$x = 3$时，$y = 1$，求$y$与$x$之间的函数表达式为$y = 2x - 5$.

答案： $y = 2x - 5$

17. 如图，在$\triangle ABC$中，$∠ACB = 90^{\circ}$，点$D$是$AB$的中点，过点$D$作$DE \perp AC$于点$E$，延长$DE$到点$F$，使得$EF = DE$，连接$AF$，$CF$.
(1)根据题意，补全图形；
(2)求证：四边形$ADCF$是菱形；
(3)若$AB = 8$，$∠BAC = 30^{\circ}$，求$\triangle ABC$的面积.

答案：
（1）如图所示：

（2）证明：因为 D 是 AB 的中点，$∠ACB = 90^{\circ}$，所以 $AD = CD = \frac{1}{2}AB$，因为 $DE⊥AC$，所以 $AE = CE$，因为 $ED = EF$，所以四边形 ADCF 是平行四边形，因为 $AC⊥DF$，所以四边形 ADCF 是菱形. （3）$8\sqrt{3}$