《2025年暑假作业完美假期生活八年级数学湖南教育出版社》

7. 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

答案： 平行四边形

8. $\triangle ABC$ 中，$D$，$E$，$F$ 分别为 $AB$，$BC$，$CA$ 的中点，若 $\triangle ABC$ 的周长为 $36\mathrm{cm}$，面积为 $54\mathrm{cm}^2$，则 $\triangle DEF$ 的周长为18 cm，面积为13.5 cm²。

答案： 18 cm 13.5 cm²

9. 梯形的上、下底的长分别是 $16\mathrm{cm}$，$23\mathrm{cm}$，一腰长为 $20\mathrm{cm}$，另一腰长为 $x\mathrm{cm}$，则 $x$ 的取值范围为13 ＜ x ＜ 27。

答案： 13 ＜ x ＜ 27

10. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在 $BC$ 上，$AE = AD$，$DF\perp AE$ 于点 $F$，连接 $DE$。证明：$DF = DC$。
证明：∵ DF ⊥ AE 于点 F，∴ ∠DFE = 90°。在矩形 ABCD 中，∠C = 90°，∴ ∠DFE = ∠C。在矩形 ABCD 中，AD // BC，∴ ∠ADE = ∠DEC，又 AE = AD，∴ ∠ADE = ∠AED，∴ ∠AED = ∠DEC。又 ∵ ∠DFE = ∠C = 90°，DE 是公共边，∴ △DFE ≌ △DCE (AAS)，∴ DF = DC。

答案： 证明：
∵ DF ⊥ AE 于点 F，
∴ ∠DFE = 90°。在矩形 ABCD 中，∠C = 90°，
∴ ∠DFE = ∠C。在矩形 ABCD 中，AD // BC，
∴ ∠ADE = ∠DEC，又 AE = AD，
∴ ∠ADE = ∠AED，
∴ ∠AED = ∠DEC。又
∵ ∠DFE = ∠C = 90°，DE 是公共边，
∴ △DFE ≌ △DCE (AAS)，
∴ DF = DC。

11. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是边 $AD$ 的中点，$BE$ 的延长线与 $CD$ 的延长线相交于点 $F$。
（1）求证：$\triangle ABE\cong\triangle DFE$；
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB // FC。∴ ∠ABE = ∠DFE，∠EAB = ∠EDF。∵ E 是 AD 的中点，∴ AE = DE。∴ △ABE ≌ △DFE。
（2）试连接 $BD$，$AF$，判断四边形 $ABDF$ 的形状，并证明你的结论。
判断结果：四边形 $ABDF$ 是平行四边形。
证明：∵ △ABE ≌ △DFE，∴ AB = DF。又 ∵ AB // FD，∴ 四边形 ABDF 是平行四边形。

答案： 证明：
(1)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB // FC。
∴ ∠ABE = ∠DFE，∠EAB = ∠EDF。
∵ E 是 AD 的中点，
∴ AE = DE。
∴ △ABE ≌ △DFE。
(2) 四边形 ABDF 是平行四边形。
∵ △ABE ≌ △DFE，
∴ AB = DF。又
∵ AB // FD，
∴ 四边形 ABDF 是平行四边形。

12. 在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，且 $AD ＞ BC$，$BC = 6\mathrm{cm}$，$P$，$Q$ 分别从 $A$，$C$ 同时出发，$P$ 以 $1\mathrm{cm/s}$ 的速度由 $A$ 向 $D$ 运动，$Q$ 以 $2\mathrm{cm/s}$ 的速度由 $C$ 出发向 $B$ 运动，几秒后四边形 $ABQP$ 是平行四边形？
解：设 t s 后，四边形 APQB 为平行四边形，则 AP = t，QC = 2t，BQ = 6 - 2t。因为 AD // BC，所以 AP // BQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知：AP = BQ，即 t = 6 - 2t，解得t = 2，当 t = 2 时，AP = BQ = 2 ＜ BC ＜ AD，符合条件。综上所述，2 s后四边形 ABQP 是平行四边形。

答案： 解：设 t s 后，四边形 APQB 为平行四边形，则 AP = t，QC = 2t，BQ = 6 - 2t。因为 AD // BC，所以 AP // BQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知：AP = BQ，即 t = 6 - 2t，解得 t = 2，当 t = 2 时，AP = BQ = 2 ＜ BC ＜ AD，符合条件。综上所述，2 s 后四边形 ABQP 是平行四边形。