《2025年暑假作业完美假期生活八年级数学湖南教育出版社》

9. 如图，一个平行四边形被分成面积分别为 $ S _ { 1 } $，$ S _ { 2 } $，$ S _ { 3 } $，$ S _ { 4 } $ 的四个小平行四边形，当 $ C D $ 沿 $ A B $ 自左向右在平行四边形内平行滑动时，则 $ S _ { 1 } S _ { 4 } $ 与 $ S _ { 2 } S _ { 3 } $ 的大小关系为____.

____处填入答案后为：
9. 如图，一个平行四边形被分成面积分别为 $ S _ { 1 } $，$ S _ { 2 } $，$ S _ { 3 } $，$ S _ { 4 } $ 的四个小平行四边形，当 $ C D $ 沿 $ A B $ 自左向右在平行四边形内平行滑动时，则 $ S _ { 1 } S _ { 4 } $ 与 $ S _ { 2 } S _ { 3 } $ 的大小关系为$ S _ { 1 } S _ { 4 } = S _ { 2 } S _ { 3 } $.

答案： $ S _ { 1 } S _ { 4 } = S _ { 2 } S _ { 3 } $

10. 如图，平行四边形 $ A B C D $ 的对角线 $ A C $ 的垂直平分线与边 $ A D $，$ B C $ 分别相交于点 $ E $，$ F $.
求证：四边形 $ A F C E $ 是菱形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD // BC. ∴ $ ∠ E A C = ∠ F C A $. ∵ EF 是 AC 的垂直平分线，∴ OA = OC，$ ∠ E O A = ∠ F O C $，EA = EC. 在 $ △ E O A $ 和 $ △ F O C $ 中，$ ∠ E A O = ∠ F C O $，AO = CO，$ ∠ E O A = ∠ F O C $，∴ $ △ E O A ≌ △ F O C $. ∴ AE = CF. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 又 ∵ EA = EC，∴ 四边形 AFCE 是菱形.

答案： 证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD // BC.
∴ $ ∠ E A C = ∠ F C A $.
∵ EF 是 AC 的垂直平分线，
∴ OA = OC，$ ∠ E O A = ∠ F O C $，EA = EC. 在 $ △ E O A $ 和 $ △ F O C $ 中，$ ∠ E A O = ∠ F C O $，AO = CO，$ ∠ E O A = ∠ F O C $，
∴ $ △ E O A ≌ △ F O C $.
∴ AE = CF.
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 又
∵ EA = EC，
∴ 四边形 AFCE 是菱形.

11. 如图，在平行四边形 $ A B C D $ 中，若 $ A B = 6 $，$ A D = 10 $，$ \angle A B C $ 的平分线交 $ A D $ 于点 $ E $，交 $ C D $ 的延长线于点 $ F $，求 $ D F $ 的长为4。

答案： 4

12. 如图，在四边形 $ A B C D $ 中，$ \angle A B C = 90 ^ { \circ } $，$ A C = A D $，$ M $，$ N $ 分别为 $ A C $，$ C D $ 的中点，连接 $ B M $，$ M N $，$ B N $。
(1)求证：$ B M = M N $；
(2)若 $ \angle B A D = 60 ^ { \circ } $，$ A C $ 平分 $ \angle B A D $，$ A C = 2 $，求 $ B N $ 的长。
(1) 略
(2) $ \sqrt { 2 } $

答案：
(1) 略
(2) $ \sqrt { 2 } $

13. 如图，在矩形 $ A B C D $ 中，$ A B = 5 $，$ A D = 3 $，点 $ P $ 是 $ A B $ 边上一点（不与 $ A $，$ B $ 重合），连接 $ C P $，过点 $ P $ 作 $ P Q \perp C P $ 交 $ A D $ 边于点 $ Q $，连接 $ C Q $. 当 $ \triangle C D Q \cong \triangle C P Q $ 时，求 $ A Q $ 的长为$ \frac { 4 } { 3 } $.

答案： $ \frac { 4 } { 3 } $