《2025年暑假作业完美假期生活八年级数学湖南教育出版社》

8. 如图，$\mathrm { Rt } \triangle ABC$中，$\angle ACB = 90 ^ { \circ }$，过点$C$的直线$DF$与$\angle BAC$的平分线$AE$平行，若$\angle B = 50 ^ { \circ }$，则$\angle BCF =$$ 70 ^ { \circ } $.

答案： $ 70 ^ { \circ } $

9. 如图，在$\mathrm { Rt } \triangle ABC$中，$\angle ACB = 90 ^ { \circ }$，$AB$的垂直平分线$DE$交$AC$于点$E$，交$BC$的延长线于点$F$，若$\angle F = 30 ^ { \circ }$，$DE = 1$，求$BE$的长。
解：$ \because \angle A C B = 90 ^ { \circ } $，$ F D \perp A B $，$ \therefore \angle A C B = \angle F D B = 90 ^ { \circ } $。$ \because \angle F = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle A = \angle F = 30 ^ { \circ } $（同角的余角相等）。又$ \because A B $的垂直平分线$ D E $交$ A C $于点$ E $，$ \therefore \angle E B A = \angle A = 30 ^ { \circ } $，所以，直角$ \triangle D B E $中，$ BE =$$2 D E = 2 $。

答案： 解：$ \because \angle A C B = 90 ^ { \circ } $，$ F D \perp A B $，$ \therefore \angle A C B = \angle F D B = 90 ^ { \circ } $。$ \because \angle F = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle A = \angle F = 30 ^ { \circ } $（同角的余角相等）。又$ \because A B $的垂直平分线$ D E $交$ A C $于点$ E $，$ \therefore \angle E B A = \angle A = 30 ^ { \circ } $，所以，直角$ \triangle D B E $中，$ B E = 2 D E = 2 $。

10. 如图，在正方形$ABCD$中，$E$是$AB$上一点，$BE = 2$，$AE = 3 BE$，$P$是$AC$上一动点，则$PB + PE$的最小值是10。

答案： $ P B + P E $的最小值是 10

11. 如图，正方形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，延长$CB$至点$F$，使$CF = CA$，连接$AF$，$\angle ACF$的平分线分别交$AF$，$AB$，$BD$于点$E$，$N$，$M$，连接$EO$。
(1)已知$EO = \sqrt { 2 }$，求正方形$ABCD$的边长；（2）
(2)猜想线段$EM$与$CN$的数量关系并加以证明。（$ E M = \frac { 1 } { 2 } C N $，证明略。）

答案： （1）2 （2）$ E M = \frac { 1 } { 2 } C N $，证明略。