《2025年暑假大串联安徽人民出版社八年级数学北师大版》

9. 如图,在直角坐标系中,直线$y = kx + b经过(0,4)$,$(10,- 4)$两点,与$x轴交于点A$,与$y轴交于点B$.


(1)求这条直线的解析式;
(2)求出三角形$AOB$的面积;
(3)观察图象直接写出:当$x$取何值时,$y大于0$?当$x$取何值时,$y小于0$?
(4)如果$P点是x$轴上的一点,且$\triangle PAB$为等腰三角形,请你直接写出符合条件的$P$点的坐标.

答案：
解:
(1)把(0,4)(10,−4)代入y = kx + b,得：
$\begin{cases}b = 4, \\10k + b = -4,\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k = -\frac{4}{5}, \\b = 4,\end{cases}$
∴这条直线的解析式是y = −$\frac{4}{5}$x + 4；
(2)当x = 0时,y = 4,
当y = 0时,0 = −$\frac{4}{5}$x + 4,解得x = 5,
∴A(5,0),B(0,4),
∴S△AOB = $\frac{1}{2}$×4×5 = 10；
(3)由图象可知:当x＜5时,y＞0;当x ＞5时,y＜0;
(4)①如图1,当PA = PB时,
设P(x,0),则AP = 5 - x,
在Rt△PBO中,OP² + OB² = PB²,
∴x² + 4² = (5 - x)²,解得x = $\frac{9}{10}$,
∴P点的坐标是($\frac{9}{10}$,0)。

②如图2,当AP = AB = $\sqrt{41}$时,
∵A点的坐标是(5,0),
∴P点的坐标是(5 - $\sqrt{41}$,0)或(5 + $\sqrt{41}$,0)。

③如图3,当BP = BA = $\sqrt{41}$时,
∵A点的坐标是(5,0),
∴P点的坐标是(−5,0)。

综上，当△PAB为等腰三角形时,P点的坐标是($\frac{9}{10}$,0)或(5 - $\sqrt{41}$,0)或(5 + $\sqrt{41}$,0)或(−5,0)。

1. 当$kb ＜ 0$时,一次函数$y = kx + b$的图象一定经过 ()
A. 第一、三象限
B. 第一、四象限
C. 第二、三象限
D. 第二、四象限

答案： B

2. 如图所示,直线$y_{1} = x + b与y_{2} = kx - 1相交于点P$,点$P的横坐标为- 1$,则关于$x的不等式x + b ＞ kx - 1$的解集在数轴上表示正确的是 ()

答案： A

3. 在平面直角坐标系中,将直线$y = - 2x + 1$向下平移4个单位长度后,所得直线的解析式为____.

答案： y = −2x −3

4. 按照下列计算程序求解:


当$x_{0} = 500$时,输出的$y$的值是____.

答案： −991

5. 已知某工厂计划用库存的$302m^{2}$木料为某学校生产500套桌椅,供该校1250名学生使用.该厂生产的桌椅分为$A$,$B$两种型号,有关数据如下:
|桌椅型号|一套桌椅所坐学生人数(人)|生产一套桌椅所需木料($m^{2}$)|一套桌椅的生产成本(元)|一套桌椅的运费(元)|
|----|----|----|----|----|
|$A$|2|0.5|100|2|
|$B$|3|0.7|120|4|
设生产$A型桌椅x$(套),生产全部桌椅并运往该校的总费用(总费用$=生产成本+$运费)为$y$(元).
(1)求$y与x$之间的关系式,并指出$x$的取值范围;
(2)当总费用$y$最小时,求相应的$x值及此时y$的值.

答案： 解:
(1)由题意得:生产B型桌椅(500 - x)套;
则y = (100 + 2)x + (120 + 4)(500 - x) = -22x + 62000。
又
$\begin{cases}2x + 3(500 - x) \geq 1250, \\0.5x + 0.7(500 - x) \leq 302;\end{cases}$
解得:240 ≤ x ≤ 250,
∴y = -22x + 62000(240 ≤ x ≤ 250)。
(2)
∵k = -22＜0,
∴y随x的增大而减小,
∴当x = 250时，总费用y最小,此时y = 56500。