《2025年教材课本高中数学选择性必修第二册人教B版》

1. $C_{4}^{2}×(\frac{3}{4})^{2}×(\frac{1}{4})^{2}=\frac{27}{128}$
2. $C_{4}^{4}×(\frac{3}{4})^{4}×(\frac{1}{4})^{0}=\frac{81}{256}$
3. B(3，0.8)
4. $C_{10}^{3}$
5. $\frac{C_{4}^{2}C_{6}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{3}{10}$
6. $\frac{C_{4}^{3}C_{6}^{0}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{30}$
7. H(10，3，2)

答案：

4.2.4　　随机变量的数字特征
1. 离散型随机变量的均值
情境与问题
一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5 000万元；如果项目失败，将损失3 000万元. 设这个项目成功的概率为p，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则p满足什么条件时你才会对该项目进行资助？为什么？

上述情境中，平均收益显然与p的取值有关. 例如，当p = 1时，平均收益应为5 000万元；而当p = 0时，平均收益应为 - 3 000万元. 一般情形下的平均收益该怎样确定呢？
注意到成功的概率为p，指的是如果重复这个创业项目足够多次（设为n次），那么成功的次数可以用np来估计，而失败的次数可以估计为n - np = n(1 - p).
因此，在这n次试验中，投资方收益（单位：万元）的n个数据可以估计为
5 000，5 000，…，5 000， - 3 000， - 3 000，…， - 3 000，
np个　　　　　　　　　　　　n(1 - p)个
这一组数的平均数为
$\frac{5 000np + (-3 000)n(1 - p)}{n}=5 000p + (-3 000)(1 - p)$.
因为上述平均数体现的是平均收益，所以不难想到，当
$5 000p + (-3 000)(1 - p)＞0$，
即p＞0.375时，就应该对创业项目进行资助.
另一方面，如果设投资公司的收益为X万元，则X这个随机变量的分布列如下表所示.
|X|5 000| - 3 000|
|P|p|1 - p|
从上面的分析可以看出，式子
$5 000p + (-3 000)(1 - p)$
刻画了X取值的平均水平.
一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.
|X|x₁|x₂|…|xₖ|…|xₙ|
|P|p₁|p₂|…|pₖ|…|pₙ|
则称
$E(X)=x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ=\sum_{i = 1}^{n}x_ip_i$
为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称为期望）.
离散型随机变量X的均值E(X)也可用EX表示，它刻画了X的平均取值. 在离散型随机变量X的分布列的直观图中，E(X)处于平衡位置. 例如，情境与问题中收益X的均值为
$E(X)=5 000p + (-3 000)(1 - p)=8 000p - 3 000$，
分别取p = 0.5与p = 0.7，则X的分布列可分别用图4 - 2 - 10（1）与（2）表示. 而且，在图4 - 2 - 10（1）中，E(X)=1 000；在图4 - 2 - 10（2）中，E(X)=2 600.

例1　　已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X).
解　因为X只能取1，0这两个值，而且P(X = 1)=p，所以
$E(X)=1×$______.
类似地，由离散型随机变量均值的定义，可以算出离散型随机变量服从二项分布、超几何分布时的均值，即：
（1）若X服从参数为n，p的二项分布，即X~B(n，p)，则
$E(X)=np$；
（2）若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X~H(N，n，M)，则
$E(X)=\frac{nM}{N}$.
尝试与发现
已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示.
|X|x₁|x₂|…|xₖ|…|xₙ|
|P|p₁|p₂|…|pₖ|…|pₙ|
设a，b都是实数且a≠0，则Y = aX + b也是一个随机变量. 那么，这两个随机变量的均值之间有什么联系呢？
若X与Y都是随机变量，且Y = aX + b（a≠0），则由X与Y之间分布列的关系可知
$E(Y)=(ax₁ + b)p₁ + (ax₂ + b)p₂ + … + (axₙ + b)pₙ$
$=a(x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ)+b(p₁ + p₂ + … + pₙ)$
$=aE(X)+b$.
事实上，在前述的情境与问题中，如果项目成功，记W = 1；如果项目失败，记W = 0. 则可知W服从参数为p的两点分布，$E(W)=$______.
另一方面，W与收益X之间的关系可以写成X = 8 000W - 3 000，因此
$E(X)=8 000E(W)-3 000=8 000p - 3 000$.
例2　体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病. 已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各体检人是否患有该疾病相互独立. 现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案：
方案甲：逐个检查每位体检人的血液；
方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束.
（1）哪种化验方案更好？
（2）如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.
解 （1）方案甲中，化验的次数一定为5次.
方案乙中，若记化验次数为X，则X的取值范围是{1，6}. 因为5人都不患病的概率为
$(1 - 0.1)^5 = 0.59049$，
所以
$P(X = 1)=0.59049$，
$P(X = 6)=$______.
从而
$E(X)=1×0.59049 + 6×0.40951 = 3.04755$.
这就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好.
（2）若记方案乙中，检查费用为Y元，则Y = 100X，从而可知
$E(Y)=$______
即方案乙的平均化验费用为304.76元.

答案：