《2025年教材课本高中数学选择性必修第二册人教B版》

2. 正态分布
正态曲线被发现后并没有立刻得到人们的重视，这一情况直到19世纪初，拉普拉斯和高斯开始利用它来研究“随机误差”时才有所改善。高斯发现，如果设X为测量时的误差，那么a≤X≤b的概率等于φ_{μ,σ}(x)的图象与x轴在区间[a，b]内围成的面积。
一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φ_{μ,σ}(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作
X～N(μ，σ^{2})，
此时φ_{μ,σ}(x)称为X的概率密度函数。更进一步的研究表明，此时μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ^{2}是X的方差。
例如，当X～N(3，2)时，X的均值是3，方差是2，而标准差为$\sqrt{2}$。
由正态曲线的性质及例1不难得出，如果X～N(μ，σ^{2})，那么
P(X≤μ)=P(X≥μ)= __________
，
P(|X - μ|≤σ)=P(μ - σ≤X≤μ+σ)≈68.3%，
P(|X - μ|≤2σ)=P(μ - 2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%，
P(|X - μ|≤3σ)=P(μ - 3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%。
最后的式子意味着，X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约
__________
的可能会落入这一范围之外（这样的事件可看成小概率事件），这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”。
现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布，例如随机误差、同一地区同龄人的身高、正常条件下生产出来的产品尺寸等。也正因为如此，正态分布在概率统计中有着广泛的应用。
例2 假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位：cm，下同），标准差为10。在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：
(1) 不高于170的概率；
(2) 在区间[160，180]内的概率；
(3) 不高于180的概率。
解 设该学生的身高为X，由题意可知X～
__________
。
(1) 易知P(X≤170)=50%。
(2) 因为均值为170，标准差为10，而160=170 - 10，180=170+10，所以
P(160≤X≤180)=P(|X - 170|≤10)≈68.3%。
(3) 由概率的加法公式可知
P(X≤180)=P(X3×5)≈$\frac{1}{2}$×0.3%=0.15%。
(2) 检测员的判断是合理的。因为如果生产线不出现异常，由(1)可知，随机抽取两包检查，质量都大于515 g的概率约为
0.15%×0.15%=2.25×10^{-6}，
几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的。
实际生活中，人们常常根据类似例3的过程来应用正态分布的知识。

答案：