《2025年教材课本高中数学选择性必修第二册人教B版》

3.杨辉三角
因为$(a + b)^0 = 1$，所以可以把$n = 0$对应的二项式系数看成是1. 把$n = 0$，1，2，3，4，5，6对应的二项式系数逐个写出，并排数表的形式.

$(a + b)^0 ………………… 1$
$(a + b)^1 ………………… 1 1$
$(a + b)^2 ……………… 1 2 1$
$(a + b)^3 …………… 1 3 3 1$
$(a + b)^4 ………… 1 4 6 4 1$
$(a + b)^5 ……… 1 5 10 10 5 1$
$(a + b)^6 …… 1 6 15 20 15 6 1$
我国古代数学家贾宪（北宋人）在1050年前后就给出了类似的数表，并利用数表进行高次开方运算，如图3 - 3 - 1所示，这一成果在南宋数学家杨辉著的《详解九章算法》中得到摘录. 因此，这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”. 西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”，这些文献认为类似的数表是数学家帕斯卡于1654年发现的.

答案：

尝试与发现
观察杨辉三角中的数，尽可能多地总结其中的规律，并用二项式系数的性质加以说明.
杨辉三角至少具有以下性质：
(1) 每一行都是对称的，且两端的数都是1；
(2) 从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.
另外，观察杨辉三角，还可以发现对于给定的n来说，其二项式系数满足中间大、两边小的特点. 这一结论是否具有普遍性呢？
假设$C_{n}^{k + 1}＞C_{n}^k$，则
$\frac{n!}{(n - k - 1)!(k + 1)!}＞\frac{n!}{(n - k)!k!}$，
化简可得$\frac{1}{k + 1}＞\frac{1}{n - k}$，从而有$k ＜ $______.
利用二项式系数的对称性可知，二项式系数
$C_{n}^0$，$C_{n}^1$，$C_{n}^2$，…，$C_{n}^{n - 2}$，$C_{n}^{n - 1}$，$C_{n}^n$，
是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.

答案：