《2025年教材课本高中数学选择性必修第二册人教B版》

2. 组合数的性质
尝试与发现
在了解敬老院可以进行哪些爱心活动的走访中，老师要将5位同学分成两组，一组2人，另一组3人. 老师要完成分组，有两种不同的做法：
（1）选出2人作为一组，另外3人是另一组；
（2）选出3人作为一组，另外2人是另一组.
用组合数符号分别表示（1）和（2）所得的分法种数，说明所得结果之间的关系，并将结果推广到一般情况.
根据组合和组合数公式可知，尝试与发现中（1）和（2）所得的分法种数分别为$C_{5}^{2}$和$C_{5}^{3}，$而且
$C_{5}^{2} = 5__________，$$C_{5}^{3} = 6__________.$
因此C_{5}^{2}=C_{5}^{3}.
一般地，我们有
C_{n}^{m} = $\frac{n!}{(n - m)!m!}$，
C_{n}^{n - m} = $\frac{n!}{[n-(n - m)]!(n - m)!}$ = $\frac{n!}{m!(n - m)!}$，
因此
C_{n}^{m}=C_{n}^{n - m}.
从这一性质与前面计算C_{5}^{2}和C_{5}^{3}的过程可知，当m ＞ $\frac{n}{2}$时，将计算C_{n}^{m}转化为计算C_{n}^{n - m}会更简便，例如
C_{10}^{7} = C_{10}^{10 - 7} = C_{10}^{3} = $\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}$ = 120.
例3 一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球：
（1）共有多少种不同的取法？
（2）如果不取红球，共有多少种不同的取法？
（3）如果必须取红球，共有多少种不同的取法？
解 （1）因为共有8个球，所以共有不同的取法种数为C_{8}^{5}，且
C_{8}^{5} = C_{8}^{8 - 5} = C_{8}^{3} = $\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}$ = 56.
（2）因为不取红球，所以只要在7个白球中取5个球即可，所以共有不同的取法种数为
C_{7}^{5} = C_{7}^{7 - 5} = C_{7}^{2} = $\frac{7\times6}{2\times1}$ = 21.
（3）因为必须取红球，所以只需在7个白球中再取4个球即可，所以共有不同的取法种数为
C_{7}^{4} = C_{7}^{7 - 4} = C_{7}^{3} = $\frac{7\times6\times5}{3\times2\times1}$ = 35.
观察例3的解答可知$C_{7}^{4}+C_{7}^{5}=C_{8}^{5}，$这一结论是否具有普遍性呢？答案是肯定的，事实上，我们有（证明留作练习）
$C_{n}^{m + 1}+C_{n}^{m}=C_{n + 1}^{m + 1}.$
探索与研究
假设有n + 1个不同的对象，甲是其中一个，从这n + 1个对象中选出m + 1个的组合，可以分成两类：
（1）不包括对象甲的；
（2）包括对象甲的.
你能用这一事实直观地理解上述组合数的性质吗？

答案：