《2025年教材课本高中数学选择性必修第二册人教B版》

2.排列数的应用

例3某地区足球比赛共有12个队参加，每队都要与其他各队在主客

场分别比赛一次，则共要进行多少场比赛?

解如果把每一场比赛都看成主场队在前、客场队在后的一个排列，

则不难看出，所求比赛数等于从12个对象中取出2个的排列数，即

例3的关键是，把所给问题转化为等价的排列问题.

例4某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信

号，每次可以只挂1面旗，也可以挂2面旗或3面旗，旗数或顺序不同

时，表示信号不同，则一共可表示多少种不同的信号？

解按照所挂旗数，可以分为三类：

第一类是只挂1面旗，此时可表示A种不同的信号；

第二类是挂2面旗，此时可表示A种不同的信号；

第三类是挂3面旗，此时可表示A种不同的信号，

按照分类加法计数原理，一共可表示不同的信号

种

例4说明，解题过程中，可以将基本计数原理与排列知识有机结合

例5用0，1，2，·，9这10个数字，可以排成多少个没有重复数字

的三位数?

解（方法一）要组成一个没有重复数字的三位数，可以分为两步：

第一步，确定百位上的数字，因为只能是1，2，…，9这9个数字中

的某一个，所以有A种方法；

第二步，确定十位和个位上的数字，因为数字不能重复，所以只能从

百位以外的数字来选取，因此共有A种方法.

由分步乘法计数原理可知，满足条件的三位数个数为

（方法二）从0，1，2，…，9这10个数字中，取出3个做排列的排

列数为A]。，所有的这些排列中，0排在首位的都不能对应一个三位数，

而其他的都对应一个三位数，又因为0排在首位的排列共有A。个，所以

可知所求三位数的个数为

例5的方法二，通常称为“排除法”，也就是先算出无限制条件的所有

排法种数，然后再减去不符合条件的排法种数.

例6用0，1，2，…，9这10个数字，可以排成多少个没有重复数字

的四位偶数？

尝试与发现

给出几个满足条件的四位数，并对所有满足条件的四位数进行分类。

解满足条件的四位数可以分为两类：

第一类的末位数字是0，有个.

第二类的末位数字不是0.要排成这样的四位数，可以分成三个步骤

来完成：第一步，确定末位数字，因为只能是2，4，6或8，所以有A]

种方法；第二步，确定首位数字，因为数字不能重复，所以有A。种方

法；第三步，确定中间两位数字，有A种方法，由分步乘法计数原理可

知，这样的数字有个.

由分类加法计数原理可知，满足条件的四位数个数为

从例6可以看出，利用排列数公式，可以简化思维过程

例7有3位男生和2位女生，在某风景点前站成一排拍合照，要求2

位女生要相邻，有多少种不同的站法?

尝试与发现

用适当的符号表示男生和女生，给出几种满足条件的排法，由此尝试发现解题思路。

解

分成两步来完成：第一步，先让两位女生站好，有种方法；第

二步，把两位女生当成一个整体，与3位男生去站成一排，有种方

法，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的站法.

例7的解法，相当于把两位女生捆绑在了一起，因此也常被称为“捆绑

法”.

例8

某晚会要安排3个歌唱节目（记为A，B，C）和2个舞蹈节目

（记为甲、乙），要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法?

尝试与发现

用题中的符号给出几种满足条件的排法，由此尝试发现解题思路.

解

分成两步来完成：第一步，先确定3个歌唱节目的先后顺序（不

考虑舞蹈节目》，总共有种排法；第二步，歌唱节目的先后顺序确定

之后，舞蹈节目共有种排法（例如，如果第一步确定的歌唱节目先后

顺序为ABC，则舞蹈节目只能安排在如图3-1-8所示的4个空格中).由

分步乘法计数原理可知，共有

种不同的安排方法。

值得注意的是，例8中所有符合条件的安排方法都可用解法中的方式得

到，如“AB甲C乙”，只要在图3-1-8中的第三个、第四个空格分别填上

甲、乙即可，这种解题方法通常称为“插空法”，在解决类似的要求不相邻

的问题中，用插空法往往简单、有效.

答案：

3.用信息技术计算排列数

利用电子表格软件中的PERMUT（permutation，排列）命令可以计算排

列数，例如，要计算A。，只要在任意一个单元格输人“=PERMUT（6，

4)”，如图3-1-9所示，然后按回车键，就能显示出想要的结果，如图3-1-10

所示.

在GeoGebra中，输人“nPr[6，4]”或“排列数[6，4]”也可得到

A的值，请感兴趣的读者自行尝试.

答案：