《2025年教材课本高中数学选择性必修第二册人教B版》

小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，那么不难知道，投篮结果可以分成11类：投中0次，投中1次，投中2次……投中10次. 而投中0次只有1（即$C_{10}^0$）种情况，投中1次有$C_{10}^1$种情况，投中2次有$C_{10}^2$种情况……投中10次有$C_{10}^{10}$种情况. 因此，小张投篮10次，结果共有
$C_{10}^0 + C_{10}^1 + C_{10}^2 + … + C_{10}^{10}$
种情况. 那么上式的结果是多少呢？
利用本节我们要学习的二项式定理，可以快速地解答这个问题.

答案：

1.二项式定理
我们知道
$(a + b)^1 = a + b$，
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
而且
$(a + b)^3$
$=(a + b)^2(a + b)$
$=(a^2 + 2ab + b^2)(a + b)$
$=a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + b^2a + b^3$
$=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
容易看到，上述得到$(a + b)^3$的展开式的过程是烦琐的，如果要用这样的方法去得到$(a + b)^{10}$，$(a + b)^{20}$等的展开式是很麻烦的. 那么我们有没有其他办法来得出$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$呢？
尝试与发现
从
$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)(a + b)$
出发，观察$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$中右边各项是如何形成的，由此总结出一般规律.
注意到
$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)(a + b)$， ①
而展开式中的任何一项都是在右边3个括号中各取一个字母相乘得到的（例如，第一个括号取a，第二个取b，第三个取a，则得到$a^2b$），因此展开式中每一项都一定是3次项，即展开式中只能含有
$a^3$，$a^2b$，______，$b^3$.
①式右边展开后有多少个$a^2b$呢？要得到$a^2b$，①式右边的3个括号中，要有1个取b（剩下的2个均取a），因此共有$C_{3}^1$种取法，所以有$C_{3}^1$个$a^2b$.
同理可知，①式右边展开后有______个$ab^2$.
类似地，$a^3$可以看成①式右边的3个括号中取0个b得到的结果，而$b^3$可以看成①式右边的3个括号中取3个b得到的结果，因此
$(a + b)^3 = C_{3}^0a^3 + C_{3}^1a^2b + C_{3}^2ab^2 + C_{3}^3b^3$.
用同样的方法可知
$(a + b)^4 = C_{4}^0a^4 + C_{4}^1a^3b + C_{4}^2a^2b^2 + C_{4}^3ab^3 + C_{4}^4b^4$.
一般地，当n是正整数时，有
$(a + b)^n = C_{n}^0a^n + C_{n}^1a^{n - 1}b + … + C_{n}^ka^{n - k}b^k + … + C_{n}^nb^n$.
上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为$(a + b)^n$的展开式，它共有n + 1项，其中$C_{n}^ka^{n - k}b^k$是展开式中的第k + 1项（通常用$T_{k + 1}$表示），$C_{n}^k$称为第k + 1项的二项式系数，我们将$T_{k + 1} = C_{n}^ka^{n - k}b^k$称为二项展开式的通项公式.
注意：通项公式$T_{k + 1} = C_{n}^ka^{n - k}b^k$中，要求n是正整数，k是满足$0\leq k\leq n$的自然数，以后不再声明.
例1 写出$(2 - x)^5$的展开式.
解 在二项式定理中令$a = 2$，$b = -x$，$n = 5$，可得
$(2 - x)^5 = C_{5}^02^5 + C_{5}^12^4(-x) + C_{5}^22^3(-x)^2 + C_{5}^32^2(-x)^3 + C_{5}^42(-x)^4 + C_{5}^5(-x)^5$
$= 32 - 80x + 80x^2 - 40x^3 + 10x^4 - x^5$.
例1的展开式中，可以看出常数项是32，x的系数是 - 80，注意到展开式中第1项的二项式系数是$C_{5}^0 = 1$，第2项的二项式系数为$C_{5}^1 = 5$，由此可知展开式中某一项的系数与二项式系数，一般情况下并不相等.
例2 求$(x - \frac{1}{x})^9$的展开式中含$x^3$的项.
解 因为$(x - \frac{1}{x})^9 = [x + (-x^{-1})]^9$，所以展开式中的第k + 1项为
$T_{k + 1} = C_{9}^kx^{9 - k}(-x^{-1})^k = (-1)^kC_{9}^kx^{9 - k - k} = (-1)^kC_{9}^kx^{9 - 2k}$.
要使此项含$x^3$，必须有$9 - 2k = 3$，从而有$k = 3$，因此含$x^3$的项为
$T_{4} = (-1)^3C_{9}^3x^3 = $______.
例3 求$(2\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^6$的展开式中常数项的值和对应的二项式系数.
解 因为$(2\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^6 = (2x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})^6$，所以展开式中的第k + 1项为
$T_{k + 1} = C_{6}^k(2x^{\frac{1}{2}})^{6 - k}(x^{-\frac{1}{2}})^k = C_{6}^k2^{6 - k}x^{\frac{6 - k}{2}-\frac{k}{2}} = C_{6}^k2^{6 - k}x^{3 - k}$.
要得到常数项，必须有$3 - k = 0$，从而有$k = 3$，因此常数项是第4项，且
$T_{4} = C_{6}^32^{6 - 3}x^{3 - 3} = 160$.
从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为$C_{6}^3 = 20$.

答案：