《2025年教材课本高中数学选择性必修第二册人教B版》

4.2.3 二项分布与超几何分布

情境与问题
为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）. 已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉. 如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，那么这个计算机网络不会断掉的概率是多少呢？

情境中的问题，利用本节所要学习的知识，可以快速地得到解决.

1. n次独立重复试验与二项分布
我们已经知道，一个伯努利试验是试验结果可记为“成功”与“不成功”的试验. 现实生活中，经常需要在相同的条件下将一个伯努利试验重复多次. 例如，为了了解抛硬币时出现的统计规律，可多次重复进行抛硬币这个伯努利试验；为了了解支持改革的人的比例，可随机向多人进行访问，询问他们的态度是“支持”还是“不支持”；等等. 在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
例如，对一批产品进行抽样检查，每次取一件来判断是否合格，有放回地抽取5次，就是一个5次独立重复试验；篮球运动员练习投篮10次，可以认为每次投中的概率都相同，这是一个10次独立重复试验.
在n次独立重复试验中，人们经常关心的是“成功”出现的次数.
尝试与发现
已知某种药物对某种疾病的治愈率为43​，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈.
（1）这能否看成独立重复试验？
（2）求出甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率；
（3）求出恰有3个患者被治愈的概率；
（4）设有X人被治愈，求X的分布列.
不难想到，4个患者是否会被治愈是相互独立的，因此尝试与发现中的情形可以看成4次独立重复试验.
如果用A1​，A2​，A3​，A4​分别表示甲被治愈、乙被治愈、丙被治愈、丁被治愈，则不难看出
P(Ai​)=43​，P(Ai​​)=1−P(Ai​)=41​，i=1，2，3，4.
此时，甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈可以表示为A1​A2​A3​A4​​，因此由独立性可知
P(A1​A2​A3​A4​​)=P(A1​)P(A2​)P(A3​)P(A4​​)
=43​×43​×43​×41​=25627​.
注意到恰有3个患者被治愈的情况共有C43​种（4个人中，选出3个是被治愈的，剩下的那个是没被治愈的），即
A1​​A2​A3​A4​，A1​A2​​A3​A4​，A1​A2​A3​​A4​，A1​A2​A3​A4​​，
这四种情况两两都是互斥的，而且每一种情况的概率均为(43​)3×41​=25627​，因此所求概率为
P(A1​​A2​A3​A4​+A1​A2​​A3​A4​+A1​A2​A3​​A4​+A1​A2​A3​A4​​)
=P(A1​​A2​A3​A4​)+P(A1​A2​​A3​A4​)+P(A1​A2​A3​​A4​)+P(A1​A2​A3​A4​​)
=C43​×(43​)3×41​=6427​.
因为共有4名患者服用了药物，所以X的取值范围应该是
{0，1，2，3，4}，
而且我们已经算出
P(X=3)=C43​×(43​)3×41​=6427​，
用类似的办法可知
P(X=0)=C40​×(43​)0×(41​)4=2561​，
P(X=1)=C41​×43​×(41​)3=643​，
P(X=2)=______，
P(X=4)=______，
因此X的分布列为
|X|0|1|2|3|4|
|P|2561​|643​|______|6427​|______|
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q = 1 - p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是
{0，1，…，k，…，n}，
而且
P(X=k)=Cnk​pkqn−k，k=0，1，…，n，
因此X的分布列如下表所示.
|X|0|1|…|k|…|n|
|P|Cn0​p0qn|Cn1​p1qn−1|…|Cnk​pkqn−k|…|Cnn​pnq0|
注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是(q+p)n的展开式Cn0​p0qn+Cn1​p1qn−1+…+Cnk​pkqn−k+…+Cnn​pnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作
X～B(n，p).
由此可以看出，上述尝试与发现中的随机变量X服从参数为4，43​的二项分布，即X～B(4，43​). 服从二项分布的随机变量，其概率分布也可用图直观地表示，如图4 - 2 - 4所示.

例1 设本节一开始的情境与问题中，能正常工作的设备数为X.
（1）写出X的分布列；
（2）求出计算机网络不会断掉的概率.

解

（1）可以看出，X服从参数为3，0.9的二项分布，即

X~B(3，0.9).

从而X的分布列为

（2）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少

有一台，即，因此所求概率为

例2 假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元；活过65岁时，保险公司不赔偿. 已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.8. 随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为X，保险公司要赔偿给这三人的总金额为Y万元.
（1）指出X服从的分布；
（2）写出Y与X的关系；
（3）求P(Y=300).
（1）不难看出，X服从参数为3，0.8的二项分布，即

（2）因为3个投保人中，活过65岁的人数为X，则没活过65岁的人

数为3一X，因此

Y=100(3-X).

（3）因为

所以

答案：