《2025年教材课本高中数学选择性必修第二册人教B版》

3. 超几何分布
尝试与发现
某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名去采集自然标本。
（1）抽取的人中恰有1名女生的概率是多少？
（2）设抽取的人中女生有X名，写出X的分布列。
注意到从10名同学中随机抽取3人，共有C103​种不同的抽法，也就是说，样本空间中样本点的数量是C103​。另外，抽取的人中恰有1名女生，等价于抽取的是1名女生和2名男生，因此包含的样本点数为C41​C62​，因此所求概率为
C103​C41​C62​​=21​。
如果抽取的人中女生数为X，则X的取值范围是
{0，1，2，3}，
而且我们已经算出
P(X=1)=C103​C41​C62​​=21​，
用类似的办法可知
P(X=0)=C103​C40​C63​​=61​，
P(X=2)=______
P(X=3)=______
因此X的分布列为
|X|0|1|2|3|
|P|61​|21​|______|______|

由此可以看出，上述尝试与发现中的随机

变量X服从参数为10，3，4的超几何分布，

即X~H（10，3，4).服从超几何分布的随机

变量，其概率分布也可用图直观地表示，如图

4-2-7所示.

例3学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设选

出的女教师人数为X，求P

解由题意知，X服从参数为7，3，2的超几何分布，即X~H（7，

3，2)，因此

例4袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取

1个球.

（1）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；

（2）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列.

「解】(1）若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为

而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此X~B（3，)，所以

因此X的分布列为

（2）若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，

但1次抽取了3个，因此黑球数Y服从参数为10，3，2的超几何分布，

即

因此

因此Y的分布列为

例4中的（2）也可直接使用有关排列组合的知识求解，感兴趣的读者

可以自行尝试.由例4可知，若N件产品中共有M件次品，当我们从这些

产品中每次抽取一件，共抽取n次进行检查时，若是有放回地抽样，则抽到

的次品数X服从的是二项分布；若是不放回地抽样且，则抽到的次

品数X服从的是超几何分布.

探索与研究

若N件产品中共有M件次品（N>1，M>1，N>M)，则不放回地抽样中，

第一次抽到次品的概率为

而第二次抽到次品的概率与第一次抽到的是否为次品

有关：若第一次抽到的是次品，则第二次抽到次品的概率为N=;

若第一次抽到

的不是次品，则第二次抽到次品的概率为·不过，当N相对M来说很大时，

都可以近似为

由以上信息出发，探索二项分布与超几何分布之间的联系。

答案：