《2025年教材课本高中数学选择性必修第二册人教B版》

3. 贝叶斯公式
尝试与发现
用适当的符号表示出下列描述中的已知与未知，并探索问题的解法：已知某厂生产的食盐，优质品率为90%．优质品中，包装达标的占95%；非优质品中，包装达标的占80%．如果从该厂生产的食盐中，随机取一袋，发现包装是达标的，那么这袋食盐是优质品的概率为多少（精确到0.1%）？
尝试与发现的描述中，可以用A表示优质品，B表示包装达标，则$\overline{A}$表示不是优质品，而且有
$P(A)=90\%$，$P(B\mid A)=95\%$，$P(B\mid\overline{A})=80\%$；
问题中所要求的是$P(A\mid B)$．
由条件概率可知
$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$，
不过，已知条件中并没有直接给出$P(AB)$与$P(B)$的值．但由乘法公式和全概率公式可得
$P(AB)=P(BA)=P(A)P(B\mid A)=90\%\times95\% = 85.5\%$，
$P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid\overline{A})$
$=90\%\times95\%+(1 - 90\%)\times80\%$
$=93.5\%$．
因此一袋包装达标的食盐是优质品的概率为
$P(A\mid B)=\frac{85.5\%}{93.5\%}\approx91.4\%$．
一般地，当$1＞P(A)＞0$且$P(B)＞0$时，有
$P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid\overline{A})}$．
这称为贝叶斯公式．
例5 某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80%．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%；否则，第一件产品合格的概率为60%．某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，求当天生产线初始状态良好的概率（精确到0.1%）．
解 用A表示生产线初始状态良好，B表示产品为合格品．则由已知有
$P(A)=80\%$，$P(B\mid A)=95\%$，$P(B\mid\overline{A})=60\%$．
从而$P(\overline{A})=$______ ，因此由贝叶斯公式可知
$P(A\mid B)=$______ ．
例5中的概率80%（即$P(A)$）是根据历史数据发现的，通常称为先验概率；获取了新信息（即第一件产品是合格品）后算出的概率$P(A\mid B)$，通常称为后验概率．贝叶斯公式指出的是，通过先验概率以及其他信息，可以算出后验概率．实际上，贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找原因，看看这一结果由各种可能原因导致的概率是多少．
贝叶斯公式在日常生活中有着广泛的应用，以下是一个实际的例子．
情境与问题
已知某地居民肝癌的患病率为0.000 4．通过对血清甲胎蛋白进行检验可以检测一个人是否患有肝癌，但这种检测方法可能出错，具体是：患有肝癌但检测显示正常的概率为0.01，未患有肝癌但检测显示有肝癌的概率为0.05．目前情况下，肝癌的致死率比较高，肝癌发现得越早，治疗越有效，因此有人主张对该地区的居民进行普查，以尽早发现肝癌患者．这个主张是否合适？
上述情境中，如果患有肝癌，那么检测出来的概率为99%．然而，普查的主张是否合适，主要取决于检测结果显示患有肝癌时，实际上患有肝癌的概率．
设A表示患有肝癌，B表示检测结果显示患有肝癌，则
$P(A)=0.000 4$，$P(\overline{B}\mid A)=0.01$，$P(B\mid\overline{A})=0.05$，
从而有
$P(\overline{A})=1 - P(A)=1 - 0.000 4 = 0.999 6$，
$P(B\mid A)=1 - P(\overline{B}\mid A)=1 - 0.01 = 0.99$．
根据贝叶斯公式，则检测显示患有肝癌的居民确实患有肝癌的概率为
$P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid\overline{A})}$
$=\frac{0.000 4\times0.99}{0.000 4\times0.99+0.999 6\times0.05}$
$\approx0.007 9$．
这就表明，检测结果显示患有肝癌但实际上患有肝癌的概率还不到0.8%！也就是说，如果进行普查的话，在现有条件下，100个显示患有肝癌的人中，可能只有1个人是真正患有肝癌的．从这个意义上来说，进行普查并不是一个好主意．
值得注意的是，这并不能说明对应的检测方法精度不够高，更不能说明在实际诊断时不能使用对应的检测办法．
下表是$P(A)$取不同值时对应的$P(A\mid B)$，从中可以看出$P(A)$对$P(A\mid B)$的影响很大．

在实际诊断过程中，医生往往会先观察患者的症状，只有当医生通过其他症状怀疑病人患有肝癌时，才会建议进行血清甲胎蛋白检测．也就是说，此时疑似患病人群的$P(A)$值已经远远大于0.000 4，甚至可能已经达到了0.5，因此检测显示患有肝癌而实际也患有肝癌的概率$P(A\mid B)$也就会比0.007 9大很多了．
同全概率公式一样，贝叶斯公式也可以进行推广．
定理2 若样本空间$\Omega$中的事件$A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_n$满足：
（1）任意两个事件均互斥，即$A_iA_j = \varnothing$，$i$，$j = 1$，$2$，$\cdots$，$n$，$i\neq j$；
（2）$A_1 + A_2 + \cdots + A_n=\Omega$；
（3）$1＞P(A_i)＞0$，$i = 1$，$2$，$\cdots$，$n$．
则对$\Omega$中的任意概率非零的事件B，有
$P(A_j\mid B)=\frac{P(A_j)P(B\mid A_j)}{P(B)}=\frac{P(A_j)P(B\mid A_j)}{\sum_{i = 1}^{n}P(A_i)P(B\mid A_i)}$．
上述公式也称为贝叶斯公式．

答案：