《2025年教材课本高中数学选择性必修第二册人教B版》

2.分步乘法计数原理
种不同的涂法。

尝试与发现
已知某公园的示意图如图3 - 1 - 4所示，其中从西门到景点A共有3条不同的路，从景点A到东门共有两条不同的路。王瑞从公园的西门进入公园后，想去A景点游玩，然后从东门出公园。只考虑路的选择，王瑞共有多少种不同的走法？你能用适当的符号表示出所有的情况吗？
　
如果把从西门到景点A的三条路分别记为a₁，a₂，a₃，把从景点A到东门的路记为b₁，b₂，用a₁b₁表示王瑞经a₁到景点A，然后经b₁到东门。注意到不管王瑞选择哪条路到景点A，其去东门都有两种不同的选择方法，因此不同的走法为
a₁b₁，a₁b₂，3______________
共有6种。可以看出，这里的6能看成3和2的乘积，即
3 × 2 = 6
这样，不同的走法可以用图3 - 1 - 5直观地表示出来。
　　　　　　　　
把上述解法推广到一般情况，就可以得出：
分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m₁种不同的方法，做第二步有m₂种不同的方法……做第n步有mₙ种不同的方法，那么完成这件事共有
N = m₁ × m₂ × ⋯ × mₙ
种不同的方法。
例2 用1，2，3，4，5可以排成多少个数字不重复的三位数？
分析 要排成一个三位数，只需分别指定这个三位数的百位、十位、个位上的数字即可，因此可以分为三步完成。
解 排成一个三位数，可以分为三步：
第一步，确定百位上的数字，共有5种方法；
第二步，确定十位上的数字，因为数字不能重复，所以不能是百位上已有的数字，共有4种方法；
第三步，确定个位上的数字，共有3种方法。
依据分步乘法计数原理，可以排成数字不重复的三位数的个数为
5 × 4 × 3 = 60
想一想
例2的解答有其他的分步方法吗？如果有，得到的结果一样吗？
本节一开始的情境与问题中的问题（2），可借助分步乘法计数原理来解答，因为共有3位数字，每一位数字都有10种可能，所以密码的设定方法共有
10 × 10 × 10 = 1000
种。这就意味着，遗忘密码时，最多要试1000次才能打开密码锁。
情境与问题中的问题（3），可以转化为将4位同学安排在从左到右的4个位置上，也可以借助分步乘法计数原理解答，请读者自行完成。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理合称为基本计数原理。

答案：