《2025年教材课本高中数学选择性必修第二册人教B版》

学校的“我为祖国献计献策”演讲比赛共有20名同学参加，学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序. 不过，张明对抽签的公平性提出了质疑，他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号了，所以每个人抽到1号的概率不一样. 张明的想法正确吗？特别地，第一个抽签的人抽到1号的概率与第二个抽签的人抽到1号的概率是否相等？为什么？
抽签的公平性如果仅仅从直观上来理解的话，可能并不容易说清楚，但这可利用本节我们要学习的全概率公式来解释.

1. 乘法公式
尝试与发现
（1）在$P(B\mid A)$，$P(BA)$（即$P(B\cap A)$，下同），$P(A)$这三者中，如果已知$P(A)$与$P(B\mid A)$，能不能求出$P(BA)$？
（2）某人翻开电话本给自己的一位朋友打电话时，发现电话号码的最后一位数字变得模糊不清了，因此决定随机拨号进行尝试. 你能用（1）中所得的结论，得出此人尝试两次但都拨不对电话号码的概率吗？
由条件概率的计算公式$P(B\mid A)=\frac{P(BA)}{P(A)}$可知，
$P(BA)=P(A)P(B\mid A)$，
这就是说，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率. 一般地，这个结论称为乘法公式.

例如，对于尝试与发现中的（2）来说，如果设A表示第一次没有拨对，B表示第二次没有拨对. 则$P(A)$是容易求出的：总共有10种可能，拨不对电话号码的情况有9种，因此$P(A)=\frac{9}{10}$. $P(B\mid A)$也是容易算出来的：如果第一次拨不对，那么第二次会从第一次尝试的数以外的数中随机选取一个进行尝试，总共有9种可能，拨不对电话号码的情况有8种，因此$P(B\mid A)=\frac{8}{9}$. 从而根据乘法公式可知，两次都拨不对电话号码的概率为
$P(BA)=P(A)P(B\mid A)=\frac{9}{10}\times\frac{8}{9}=\frac{4}{5}$.

值得注意的是，尝试与发现中的（2）也可以借助排列组合来解：问题可转化为“用10个数字排成数字不重复的2位数，求某　　两种解法，思考:个特定数字不出现的概率”，因为总共有$A_{10}^2$种排法，特定数字不出现的排法有$A_{9}^2$种，因此所求概率是
$\frac{A_{9}^2}{A_{10}^2}=\frac{9\times8}{10\times9}=\frac{4}{5}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 值得注意的是，尝试与发现中的(2)也可以借助排列组合来
解:问题可转化为“用10个数字排成数字不重复的2位数，求某　　两种解法，思考:个特定数字不出现的概率”，因为总共有$A_{10}^2$种排法，特定数字不　　什么情况下利用乘出现的排法有$A_{9}^2$种，因此所求概率是　　　　　　　　　　　　　　　法公式会有优势？
例1 已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3. 试求这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率.
例2 在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样. 假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求：
（1）甲中奖而且乙也中奖的概率；
（2）甲没中奖而且乙中奖的概率.
例2也可用排列组合的知识求解，请读者自行尝试.
探索与研究
假设$A_i$表示事件，$i = 1$，2，3，且$P(A_1)＞0$，$P(A_1A_2)＞0$. 证明
$P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1A_2)$
一定成立，其中$P(A_3\mid A_1A_2)$表示已知$A_1$与$A_2$都发生时$A_3$发生的概率，而$P(A_1A_2A_3)$表示$A_1$，$A_2$，$A_3$同时发生的概率. 并通过具体实例来理解上式.

答案：