《2025年教材课本高中数学选择性必修第二册人教B版》

4.2.2　离散型随机变量的分布列
1. 离散型随机变量的分布列
尝试与发现
已知随机变量X的取值范围是{0，1，2}，而且
P(X = 0) = 0.2，
P(X = 1) = 0.4，
P(X = 2) = 0.4。
(1) 求出P(−1 ≤ X ≤ 1)与P(1 ≤ X ≤ 2)的值；
(2) 如果a，b是给定的实数，则P(a ≤ X ≤ b)一定可以算出来吗？
(3) 探讨怎样才能对离散型随机变量有比较全面的了解。
由于X只能在0，1，2中取值，所以−1 ≤ X ≤ 1等价于X = 0或X = 1，又因为X = 0与X = 1互斥，所以
P(−1 ≤ X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.2 + 0.4 = 0.6；
类似地，
1 ≤ X ≤ 2等价于1____X = 1或X = 2____，而且
P(1 ≤ X ≤ 2) = 2____P(X = 1) + P(X = 2)____
因此，当实数a，b给定时，只要检查0，1，2是否满足a ≤ X ≤ b就可以求出P(a ≤ X ≤ b)。
由此可以看出，对于离散型随机变量来说，如果已知其每一个取值的概率，那么也就对其有了比较全面的了解。
一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，...，xn}时，如果对任意k∈{1，2，...，n}，概率
P(X = xk) = pk
都是已知的，则称X的概率分布是已知的。离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列。
|X|x1|x2|...|xk|...|xn|
|P|p1|p2|...|pk|...|pn|
离散型随机变量X的概率分布还可以用图4−2−1或图4−2−2来直观表示，其中，图4−2−1中，xk上的矩形宽为1、高为pk，因此每个矩形的面积也恰为pk；图4−2−2中，xk上的线段长为pk。
　　　
例如，对于尝试与发现中的随机变量X来说，其分布列如下表所示，而且X的概率分布可用图4−2−3直观表示。
|X|0|1|2|
|P|0.2|0.4|0.4|

尝试与发现
观察上述分布列的实例，总结离散型随机变量X的分布列中pk应具有的性质。
注意到pk表示的是事件X = xk发生的概率，因此每一个pk都是非负数；另外，因为分布列给出了随机变量能取的每一个值，而且随机变量取不同的值的事件互斥，因此所有的pk之和应该等于1。这就是说，离散型随机变量的分布列必须满足：
(1) pk ≥ 0，k = 1，2，...，n；
(2) ∑k = 1npk = p1 + p2 +... + pn = 3____1____
例1 掷一个均匀的骰子，记所得点数为X。
(1) 求X的分布列；
(2) 求“点数大于3”的概率。
解 (1) 因为X的取值范围是
{1，2，3，4，5，6}，
而且
P(X = n) = 4____$\frac{1}{6}$____，n = 1，2，3，4，5，6，
因此X的分布列如下表所示。
|X|1|2|3|4|5|6|
|P|$\frac{1}{6}$|$\frac{1}{6}$|$\frac{1}{6}$|$\frac{1}{6}$|$\frac{1}{6}$|$\frac{1}{6}$|
(2) “点数大于3”等价于X ＞ 3，也就是说，X可取4，5，6中的任何一个值，因此所求概率为
P(X ＞ 3) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = 5____$\frac{1}{2}$____
例2 抛一枚均匀的硬币3次，设正面朝上的次数为X。
(1) 说明X = 2表示的是什么事件，并求出P(X = 2)；
(2) 求X的分布列。
解 (1) X = 2表示的事件是“恰有2次正面朝上”。
因为抛一枚均匀的硬币3次，总共有2×2×2 = 8种不同的情况，其中恰有两次正面朝上的情况共C32 = 3种，所以
P(X = 2) = $\frac{3}{8}$。
(2) 根据题意可知，X的取值范围是
{0，1，2，3}。
用(1)中的方法可知
P(X = 0) = $\frac{1}{8}$，P(X = 1) = 6____$\frac{3}{8}$____，P(X = 3) = 7____$\frac{1}{8}$____
因此X的分布列如下表所示。
|X|0|1|2|3|
|P|$\frac{1}{8}$|$\frac{3}{8}$|$\frac{3}{8}$|$\frac{1}{8}$|
尝试与发现
在上一小节中我们已经看到，如果X是一个离散型随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y = aX + b也是一个离散型随机变量。那么，它们的分布列之间有什么联系呢？
容易看出，当X与Y都是离散型随机变量而且Y = aX + b (a≠0)时，X与Y的分布列分别如下表所示，它们的第二行的概率值是一样的。
|X|x1|x2|...|xk|...|xn|
|P|p1|p2|...|pk|...|pn|
|Y = aX + b|ax1 + b|ax2 + b|...|axk + b|...|axn + b|
|P|p1|p2|...|pk|...|pn|
2. 两点分布

答案：