《2025年教材课本高中数学选择性必修第二册人教B版》

02.随机变量之间的关系
尝试与发现
为了调动员工的积极性，某厂某月实行超额奖励制度，具体措施是：每超额完成1件产品，奖励100元。假设这个月中，该厂的每名员工都完成了定额，而且超额完成的产品数都不超过50。从该厂员工中随机抽出一名，记抽出的员工该月超额完成的产品数为X，获得的超额奖励为Y元，则X与Y均为随机变量。
（1）当X = 3时，Y的值是多少？总结X与Y之间的关系。
（2）分别写出X与Y的取值范围。

因为X=3表示超额完成了3件产品，所以按照奖励制度可知Y=

100X3=300．依照题意可知

Y=100X.

另外，由于X的取值范围是

(0, 1，2，3，…，50)，

因此Y的取值范围是

(0，100，200，300，··，5 000}.

上述X与Y，虽然都是随机变量，但是它们之间的关系却是确定的：当X的值确定之后，Y的值也就确定了；反之亦然。
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则
Y = aX + b
也是一个随机变量。由于X = t的充要条件是Y = at + b，因此
P(X = t)=P(Y = at + b)。
例2 某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作1h再获取30元。从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为Xh，获取的税前月工资为Y元。
（1）当X = 110时，求Y的值；
（2）写出X与Y之间的关系式；
（3）若P(X≤120)=0.6，求P(Y＞4600)的值。

解

（1）当X=110时，表示工作了110个小时，所以

Y=110X30+1000=4 300.

(2）根据题意有

Y=30X+1 000.

（3） 因为

所以

从而

答案：

练习A
①如果一批产品共有100件，其中恰有3件次品，现从这批产品中随机抽取5件进行检测，记样本空间为Ω。
（1）用组合数表示样本空间中样本点的总数；
（2）假设所抽到的5件产品中次品数为X，那么X可能的取值有多少个？
②写出下列随机变量的取值范围：
（1）某足球队在5次点球中，射进的球数为X；
（2）从10张标号分别为1，2，…，10的卡片中随机抽取1张，所抽得的卡片标号为Y；
（3）同时抛5枚硬币，正面朝上的硬币数为Z。
③掷一个均匀的骰子，设朝上的点数为随机变量Y，求P(Y≥5)。
④已知随机变量X的取值范围是{1，0}，且Y = X + 2，求Y的取值范围。
⑤已知随机变量X的取值范围是{1，2，3，4，5，6}，且Y = 2X，求Y的取值范围。

答案：