《2025年教材课本高中数学选择性必修第二册人教B版》

2. 全概率公式
尝试与发现
（1）在例2中，如果想求乙中奖的概率$P(B)$，该怎样计算？
（2）一般地，如果已知$P(BA)$与$P(B\overline{A})$，能否求出$P(B)$？如果已知$P(B\mid A)$，$P(A)$，$P(B\mid\overline{A})$，$P(\overline{A})$，能否求出$P(B)$？
在例2中，乙中奖可以分为两种情况：甲中奖且乙中奖，甲没中奖且乙中奖，即$B = BA + B\overline{A}$. 这两种情况是不能同时发生的（即是互斥的），因此由互斥事件概率的加法公式可得
$P(B)=P(BA + B\overline{A})=P(BA)+P(B\overline{A})=\frac{2}{245}+\frac{9}{98}=\frac{1}{10}$.

一般地，如果样本空间为$\Omega$，而A，B为事件，则$BA$与$B\overline{A}$是互斥的，且
$B = B\Omega = B(A+\overline{A}) = BA + B\overline{A}$，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
如图4 - 1 - 3所示，从而
$P(B)=P(BA + B\overline{A})=P(BA)+P(B\overline{A})$.
更进一步，当$P(A)＞0$且$P(\overline{A})＞0$时，因为
由乘法公式有
$P(BA)=P(A)P(B\mid A)$，$P(B\overline{A})=P(\overline{A})P(B\mid\overline{A})$，
所以
$P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid\overline{A})$.
这称为全概率公式.
例3 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查. 参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占$\frac{3}{5}$，乙班中女生占$\frac{1}{3}$. 求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
尝试与发现
用适当的符号表示例3中的已知条件，并思考解题的方法.
利用全概率公式，可以解决情境与问题中的抽签问题. 如果设$A_i$表示第i个人抽到1号，$i = 1$，2. 则可以看出
$P(A_1)=\frac{1}{20}$，$P(\overline{A_1})=\frac{19}{20}$.
如果第一个人抽到1号，那么第二个人抽到1号的概率为0，即$P(A_2\mid A_1)=0$；如果第一个人抽到的不是1号，那么第二个人抽到1号的概率为$\frac{1}{19}$，即$P(A_2\mid\overline{A_1})=\frac{1}{19}$. 因此
$P(A_2)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)+P(\overline{A_1})P(A_2\mid\overline{A_1})=\frac{1}{20}\times0+\frac{19}{20}\times\frac{1}{19}=\frac{1}{20}$.
这就是说$P(A_1)=P(A_2)$. 因此抽签是公平的.

前面提到的全概率公式，本质上是将样本空间分成互斥的两部分（即A与$\overline{A}$）后得到的. 不难想到，可以将样本空间分成更多互斥的部分，从而得到如下更一般的结论.

定理1 若样本空间$\Omega$中的事件$A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_n$满足：
（1）任意两个事件均互斥，即$A_iA_j=\varnothing$，$i$，$j = 1$，2，$\cdots$，$n$，$i\neq j$；
（2）$A_1 + A_2+\cdots+A_n=\Omega$；
（3）$P(A_i)＞0$，$i = 1$，2，$\cdots$，$n$.
则对$\Omega$中的任意事件B，都有$B = BA_1 + BA_2+\cdots+BA_n$，且
$P(B)=\sum_{i = 1}^{n}P(BA_i)=\sum_{i = 1}^{n}P(A_i)P(B\mid A_i)$.
上述公式也称为全概率公式. $n = 3$时的情形可借助图4 - 1 - 5来理解.

例4 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质品率的信息如下表所示.
|品牌|甲|乙|其他|
|--|--|--|--|
|市场占有率|50%|30%|20%|
|优质品率|95%|90%|70%|

在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率.
由例4还可以得出全概率公式的一个直观解释：已知事件B的发生有各种可能的情形$A_i(i = 1$，2，$\cdots$，$n$，且任意两种情形均互斥），事件B发生的可能性，就是各种可能情形$A_i$发生的可能性与已知在$A_i$发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 在实际问题中，由于随机事件的复杂性，有时很难直接求得事件B发生的概率，因此我们可以分析事件B发生的各种可能情形，化整为零地去分解事件B，然后借助全概率公式间接求出事件B发生的概率.

答案：