《2025年教材课本高中数学选择性必修第二册人教B版》

4.二项式定理的应用
例5 求证：$99^{98}-1$能被100整除.
证明 因为$99^{98}-1=(100 - 1)^{98}-1$，由二项式定理可知
$(100 - 1)^{98} = C_{98}^0100^{98} + C_{98}^1100^{97}(-1) + C_{98}^2100^{96}(-1)^2 + … +$
$C_{98}^{96}100^2(-1)^{96} + C_{98}^{97}100(-1)^{97} + C_{98}^{98}(-1)^{98}$，
注意到上述右边的展开式中，前面98项都是100的倍数，最后一项为1，由此可知$99^{98}-1$能被100整除.
例6 当n是正整数且$x＞0$时，求证：$(1 + x)^n\geq1 + nx$.
证明 由二项式定理可知
$(1 + x)^n = C_{n}^0 + C_{n}^1x + C_{n}^2x^2 + … + C_{n}^{n - 1}x^{n - 1} + C_{n}^nx^n$
$= 1 + nx + C_{n}^2x^2 + … + C_{n}^{n - 1}x^{n - 1} + C_{n}^nx^n$，
因为$x＞0$，所以以上式右边的项都是正数，从而可知$(1 + x)^n\geq1 + nx$.
例6的结论可以用在近似计算中. 例如，假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.2%，那么6年后该地区的人口应为$100(1 + 1.2\%)^6$，直接计算这个数并不容易，但是利用例6的结果可知
$100(1 + 1.2\%)^6\geq100(1 + 6×1.2\%) = 107.2$，
注意到$(1.2\%)^n$在$n\geq2$时都是很小的数，因此，如果我们认为$100(1 + 1.2\%)^6≈107.2$的话，近似程度应该是比较好的. 实际上，$100(1 + 1.2\%)^6$保留6位有效数字的近似值是107.419.

答案：

习题3 - 3A
1. 已知小张练习了3次投篮，如果用1代表投中，0代表未投中，001代表前两次未投中，第三次投中. 试写出小张所有可能的投篮结果，并说出共有多少种可能.
2. 求$(x + \frac{1}{x})^9$的展开式中$x^3$的系数.
3. 指出下列各二项式的展开式中，二项式系数最大的分别是哪一项：
(1) $(a + b)^7$；
(2) $(2 + x)^{16}$.
4. 化简$(1 + \sqrt{x})^5 + (1 - \sqrt{x})^5$.
5. 用二项式定理证明$101^{10}-1$能被10整除.
6. 求下列各式的值：
(1) $C_{6}^1 + C_{6}^2 + C_{6}^3 + C_{6}^4 + C_{6}^5$；
(2) $C_{11}^1 + C_{11}^3 + C_{11}^5 + C_{11}^7 + C_{11}^9 + C_{11}^{11}$.

答案：