《2025年赢在假期期末加寒假七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

1. 下列说法正确的是 （ ）
A. 若$a^{2}=b^{2}$，则$a = b$
B. 若$ax = ay$，则$ax - 1 = ay + 1$
C. 若$a = b$，则$\frac{a}{m^{2}+1}=\frac{b}{m^{2}+1}$
D. 若$x = y$，则$\frac{x}{m}=\frac{y}{m}$

答案： C

2. 已知关于$x$的方程$(3a + 1)x^{2}-ax + 4 = 0$是一元一次方程，则$a$的值为 （ ）
A. 0
B. $\frac{1}{3}$
C. 1
D. $-\frac{1}{3}$

答案： D

3. 已知关于$x$的方程$3x = 9$与$-x = 1 - k$的解相同，则$k^{2}-2k + 1$的值为 （ ）
A. 25
B. -25
C. 9
D. -9

答案： C

4. 下列各方程，变形不正确的是 （ ）
A. $\frac{x - 3}{5}-\frac{x + 4}{2}=1$去分母，得$2(x - 3)-5(x + 4)=10$
B. $2(x - 3)-5(x + 4)=10$去括号，得$2x - 3-5x + 20 = 10$
C. $2x - 3-5x + 20 = 10$移项，得$2x - 5x = 10 - 20 + 3$
D. $2x - 5x = 10 - 20 + 3$合并同类项，得$-3x=-7$

答案： B

5. 现有盐水溶液20 mL，含盐率18%，另有盐水溶液含盐率6%，若将第二种盐水溶液加入到第一种溶液中，可得到12%的盐水溶液，则需第二种盐水 （ ）
A. 10 mL
B. 20 mL
C. 12 mL
D. 15 mL

答案： B

6. 已知两个多项式$M = a_{1}x^{2}+mx + b_{1}(b_{1}\neq0$，且$a_{1},m,b_{1}$是常数)，$N = a_{2}x^{2}+nx + b_{2}(b_{2}\neq0$，且$a_{2},n,b_{2}$是常数)满足$a_{1}=-\frac{8}{3}a_{2}$，$b_{1}+b_{2}=0$，称多项式$M$是多项式$N$的“友好式”，下列四个结论：①多项式$3x^{2}+2x - 2$是多项式$-\frac{9}{8}x^{2}-x + 2$的“友好式”；②若$m = 2$，$M$是$N$的“友好式”，且$3M + 8N$的取值与$x$无关，则$n = -\frac{3}{8}$；③若$M$是$N$的“友好式”，且关于$x$的方程$3M + 8N = 0$无解，则$mn$一定是非正数；④当$m = 3$，$n = -1$，$b_{2}=-\frac{2}{5}$时，若$M$是$N$的“友好式”，且关于$x$的方程$||3M + 8N|-1|=t$有3个整数解，则$t = 1$. 其中正确的有 （ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B

7. 已知关于$x$的一元一次方程$4ax - 2x + 1=-3$的解为$x = 1$，那么$2a+\frac{1}{a}=$________.

答案： -3

8. 若代数式$\frac{a + 3}{4}$比$\frac{2a - 3}{7}$的值多1，则$a$的倒数是________.

答案： $\frac{1}{5}$

9. 设$a,b,c,d$为有理数，现规定一种新的运算$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，当$\begin{vmatrix}2x&4\\3x - 2&3\end{vmatrix}=10$时，求代数$2(x - 2)-3(x + 1)=$________.

答案： $-\frac{20}{3}$

10. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?”翻译成现代汉语就是鸡和兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，则鸡有________只，兔有________只.

答案： 23 12