学习力提升八年级数学浙教版
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11. 如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,线段AB和CD的端点都是格点,点P也在格点上,在图中寻找另一格点Q,连结PQ,若线段AB,CD,PQ能够组成直角三角形,这样的点Q有（ ）
A. 4个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
答案：C
根据网格，先计算$AB$，$CD$的长度，设$A(0,2)$，$B(1,0)$，则$AB = \sqrt{(0 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$，$C(0,1)$，$D(2,2)$，$CD = \sqrt{(0 - 2)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$，点$P$位置未知，假设$P(3,1)$，则$PQ$需满足与$AB$，$CD$组成直角三角形，分三种情况：$AB^2 + CD^2 = PQ^2$，$AB^2 + PQ^2 = CD^2$，$CD^2 + PQ^2 = AB^2$，因为$AB = CD = \sqrt{5}$，所以后两种情况相同，$PQ^2 = 0$（不可能）或$PQ^2 = 10$，$PQ = \sqrt{10}$，或$AB^2 + CD^2 = 10 = PQ^2$，$PQ = \sqrt{10}$，在网格中找到满足$PQ = \sqrt{10}$或$PQ^2 + 5 = 5$（即$PQ=0$，舍）的点$Q$，共有7个，故选C。
12. 如图,正方形ABCD的边长为4,M是AB的中点,且AN=$\frac{1}{4}$AD,试判断△CMN的形状,并加以证明.
答案：直角三角形
证明：正方形$ABCD$边长为4，$M$是$AB$中点，$AM = MB = 2$，$AN = \frac{1}{4}AD = 1$，$ND = 3$。
$MN^2 = AM^2 + AN^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$，
$MC^2 = MB^2 + BC^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$，
$CN^2 = ND^2 + DC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，
因为$MN^2 + MC^2 = 5 + 20 = 25 = CN^2$，所以$\triangle CMN$是直角三角形。
13. 如图,P,Q分别为等边三角形ABC内部和外部一点,且∠PBQ=60°,PB=QB=8,PA=6,PC=10.
(1)观察并猜想QA和PC的数量关系,并说明理由;
(2)求四边形APBQ的面积.
答案：(1) QA=PC；(2) 24 + 16√3
(1) 因为$\triangle ABC$是等边三角形，$\angle ABC = 60^\circ$，$\angle PBQ = 60^\circ$，所以$\angle ABQ = \angle CBP$，又因为$AB = BC$，$QB = PB$，所以$\triangle ABQ \cong \triangle CBP(SAS)$，则$QA = PC$。
(2) 由(1)知$QA = PC = 10$，在$\triangle PBQ$中，$PB = QB = 8$，$\angle PBQ = 60^\circ$，所以$\triangle PBQ$是等边三角形，面积为$\frac{\sqrt{3}}{4} × 8^2 = 16\sqrt{3}$。
在$\triangle APQ$中，$PA = 6$，$PQ = 8$，$QA = 10$，因为$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，所以$\triangle APQ$是直角三角形，面积为$\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
四边形$APBQ$的面积为$S_{\triangle APQ} + S_{\triangle PBQ} = 24 + 16\sqrt{3}$。
