学习力提升八年级数学浙教版
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13. 已知命题：“$P$是等边$\triangle ABC$内的一点，若$P$到三边的距离相等，则$PA = PB = PC$。”
（1）写出它的逆命题，判断其逆命题是否成立，若成立，请给出证明。
（2）进一步证明：点$P$到等边$\triangle ABC$各边的距离之和为定值。
答案：（1）逆命题：$P$是等边$\triangle ABC$内的一点，若$PA = PB = PC$，则$P$到三边的距离相等。成立。
证明：连接$PA$，$PB$，$PC$。因为$PA = PB = PC$，所以点$P$是$\triangle ABC$的外心，又因为$\triangle ABC$是等边三角形，外心、内心重合，所以$P$到三边距离相等。
（2）证明：设等边$\triangle ABC$边长为$a$，高为$h$，面积为$S$。连接$PA$，$PB$，$PC$，将$\triangle ABC$分成$\triangle PAB$，$\triangle PBC$，$\triangle PCA$，设$P$到三边距离分别为$d_1$，$d_2$，$d_3$。则$S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ad_1+\frac{1}{2}ad_2+\frac{1}{2}ad_3$，所以$h = d_1 + d_2 + d_3$，即距离之和为定值（等边三角形的高）。
14. 如图，四边形$ABCD$中，点$E$在边$CD$上，连接$AE$，$BE$。给出下列五个关系式：①$AD// BC$；②$DE = CE$；③$\angle 1=\angle 2$；④$\angle 3=\angle 4$；⑤$AD + BC = AB$。将其中的三个关系式作为条件，另外两个作为结论，构成一个命题。
（1）用序号写出一个真命题（书写形式：如果×××，那么××），并给出证明。
（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）。
（3）在本题可以书写的所有命题中，只有一个是假命题，请你画图举例说明。
答案：（1）如果①②③，那么④⑤。
证明：延长$AE$交$BC$延长线于$F$。因为$AD// BC$，所以$\angle 1=\angle F$，$\angle D=\angle ECF$。又$DE = CE$，所以$\triangle ADE\cong\triangle FCE(AAS)$，则$AD = CF$，$AE = EF$。因为$\angle 1=\angle 2$，所以$\angle 2=\angle F$，则$AB = BF = BC + CF = BC + AD$，即⑤成立。又$AE = EF$，$\angle 2=\angle F$，$BE = BE$，所以$\triangle ABE\cong\triangle FBE(SAS)$，则$\angle 3=\angle 4$，即④成立。
（2）如果①②④，那么③⑤；如果①③⑤，那么②④；如果②③④，那么①⑤。
（3）假命题：如果①③④，那么②⑤。
举例：在梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$\angle 1=\angle 2$，$\angle 3=\angle 4$，但$E$不是$CD$中点，$AD + BC\neq AB$（画图略）。
