学习力提升八年级数学浙教版
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12. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 2\angle B$，$AB = 2AC$。求证：$\triangle ABC$是直角三角形。
答案：证明：作$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于$D$，取$AB$中点$E$，连接$DE$。因为$\angle BAC = 2\angle B$，所以$\angle BAD=\angle B$，则$AD = BD$。$E$是$AB$中点，所以$DE\perp AB$。因为$AB = 2AC$，所以$AE = AC$。又$AD = AD$，$\angle EAD=\angle CAD$，所以$\triangle AED\cong\triangle ACD(SAS)$，则$\angle C=\angle AED = 90^\circ$，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
13. 已知：在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^\circ$，$AB = AC$，$D$为$BC$的中点。
（1）如图，$E$，$F$分别是$AB$，$AC$上的点，且$BE = AF$，求证：$\triangle DEF$为等腰直角三角形。
（2）若$E$，$F$分别为$AB$，$CA$延长线上的点，仍有$BE = AF$，其他条件不变，那么$\triangle DEF$是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论。
答案：（1）证明：连接$AD$。因为$\angle A = 90^\circ$，$AB = AC$，$D$是$BC$中点，所以$AD = BD = CD$，$\angle BAD=\angle CAD = 45^\circ$，$\angle ADB = 90^\circ$。因为$BE = AF$，$AB = AC$，所以$AE = CF$。在$\triangle ADE$和$\triangle CDF$中，$AD = CD$，$\angle EAD=\angle C = 45^\circ$，$AE = CF$，所以$\triangle ADE\cong\triangle CDF(SAS)$，则$DE = DF$，$\angle ADE=\angle CDF$。因为$\angle CDF+\angle ADF = 90^\circ$，所以$\angle ADE+\angle ADF = 90^\circ$，即$\angle EDF = 90^\circ$，所以$\triangle DEF$是等腰直角三角形。
（2）是等腰直角三角形。
证明：连接$AD$。同理$AD = BD = CD$，$\angle BAD=\angle CAD = 45^\circ$，所以$\angle DBE=\angle DAF = 135^\circ$。因为$BE = AF$，$BD = AD$，所以$\triangle DBE\cong\triangle DAF(SAS)$，则$DE = DF$，$\angle BDE=\angle ADF$。因为$\angle BDE+\angle ADE = 90^\circ$，所以$\angle ADF+\angle ADE = 90^\circ$，即$\angle EDF = 90^\circ$，所以$\triangle DEF$是等腰直角三角形。
