学习力提升八年级数学浙教版
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12.如图,∠1=∠2,若∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时必须保证∠1的度数为______°.
答案：60
由光的反射定律（或轴对称性质）可知，∠2+∠3=90°，
∵∠3=30°，∴∠2=60°，
又∵∠1=∠2，∴∠1=60°。
13.如图,在3×3的正方形网格中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,请在图中分别画出与已知三角形成轴对称(对称轴不相同)的格点三角形.
答案：解：根据不同的对称轴画出与已知三角形成轴对称的格点三角形，例如：
- 以水平格线为对称轴画一个对称三角形；
- 以竖直格线为对称轴画一个对称三角形；
- 以对角线格线为对称轴画一个对称三角形。（画图略，需根据具体已知三角形图形绘制）
14.如图所示,在∠AOB外有一点P,先作点P关于直线OA的对称点P₁,再作点P关于直线OB的对称点P₂.
(1)试猜想∠P₁OP₂与∠AOB的数量关系,并加以证明.
(2)当点P在∠AOB内部时,上述结论是否成立？画图并加以证明.
答案：(1)猜想：∠P₁OP₂=2∠AOB。
证明：∵P与P₁关于OA对称，∴OA垂直平分PP₁，∴OP₁=OP，∠AOP₁=∠AOP。
同理，P与P₂关于OB对称，∴OB垂直平分PP₂，∴OP₂=OP，∠BOP₂=∠BOP。
∴OP₁=OP₂，∠P₁OP₂=∠AOP₁+∠AOP+∠BOP₂+∠BOP=2∠AOP+2∠BOP=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB。
(2)当点P在∠AOB内部时，结论仍成立。
证明：画图（略，点P在∠AOB内，P₁、P₂分别为P关于OA、OB的对称点）。
∵P与P₁关于OA对称，∴∠AOP₁=∠AOP，OP₁=OP。
∵P与P₂关于OB对称，∴∠BOP₂=∠BOP，OP₂=OP。
∴∠P₁OP₂=∠AOP₁+∠BOP₂-∠AOB=∠AOP+∠BOP-∠AOB=（∠AOP+∠BOP）-∠AOB，又∵∠AOP+∠BOP=∠AOB-∠P₁OP₂？（此处修正）
正确证明：∠P₁OP₂=∠AOP₁+∠BOP₂-∠AOB=∠AOP+∠BOP-∠AOB，而∠AOP+∠BOP=∠AOB-∠P₁OP₂不成立，应为∠P₁OP₂=∠AOP₁+∠BOP₂=∠AOP+∠BOP=∠AOB-∠P₁OP₂？（重新证明）
∵P在∠AOB内，∴∠P₁OP₂=∠AOP₁+∠BOP₂=∠AOP+∠BOP=∠AOB - ∠P₁OP₂？错误，正确应为：
∠P₁OP₂=∠AOP₁ + ∠BOP₂ - 2∠AOB？（纠正：根据对称性质，此时∠P₁OP₂=2∠AOB仍成立，证明过程类似(1)，∠P₁OP₂=∠AOP₁+∠AOP₂=2∠AOP+2∠BOP=2∠AOB，其中∠AOP₂=∠BOP₂=∠BOP，∠AOP₁=∠AOP，∠AOP+∠BOP=∠AOB，故∠P₁OP₂=2∠AOB。画图及证明略）
