学习力提升八年级数学浙教版
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11. 【感知】（1）如图1，$AB// CD$，$\angle PAB = 130^\circ$，$\angle PCD=120^\circ$，求$\angle APC$的度数。
小明的思路是：过点$P$作$PE// AB$，通过平行线性质来求$\angle APC$。
按小明的思路，易求得$\angle APC$的度数为______。
【探究】（2）如图2，$AB// CD$，点$P$在射线$OM$上运动，记$\angle PAB=\angle\alpha$，$\angle PCD=\angle\beta$，当点$P$在$B$，$D$两点之间运动时，问$\angle APC$与$\angle\alpha$，$\angle\beta$之间有何数量关系？请说明理由。
【迁移】（3）在（2）的条件下，如果点$P$在$B$、$D$两点外侧运动时（点$P$与点$O$，$B$，$D$三点不重合），试着探究$\angle APC$与$\angle\alpha$，$\angle\beta$之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①、②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由。
①点$P$在线段$OB$上；②点$P$在射线$DM$上。
答案：（1）$110^\circ$
（2）$\angle APC=\angle\alpha+\angle\beta$
证明：过点$P$作$PR// AB$，因为$AB// CD$，所以$PR// CD$。则$\angle APR=\angle\alpha$，$\angle CPR=\angle\beta$，所以$\angle APC=\angle APR+\angle CPR=\angle\alpha+\angle\beta$。
（3）①当点$P$在线段$OB$上时，$\angle APC=\angle\beta-\angle\alpha$
证明：过点$P$作$PE// AB$，因为$AB// CD$，所以$PE// CD$。则$\angle CPE=\angle\beta$，$\angle APE=\angle\alpha$，所以$\angle APC=\angle CPE-\angle APE=\angle\beta-\angle\alpha$。
