学习力提升八年级数学浙教版
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13. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 90^\circ$，直角$\angle EPF$的顶点$P$是$BC$的中点，两边$PE$，$PF$分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$，现给出以下四个结论：①$AE = CF$；②$\triangle PEF$是等腰直角三角形；③$EF = AP$；④$S_{四边形AEPF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$。当$\angle EPF$在$\triangle ABC$内部绕顶点$P$旋转时（点$E$不与点$A$，$B$重合），上述结论正确的是________（填写序号）。
答案：①②④
解析：连接$AP$。因为$AB = AC$，$\angle BAC = 90^\circ$，$P$是$BC$中点，所以$AP = CP$，$\angle BAP=\angle C = 45^\circ$，$AP\perp BC$。因为$\angle EPF = 90^\circ$，所以$\angle APE+\angle APF = 90^\circ$，又$\angle CPF+\angle APF = 90^\circ$，所以$\angle APE=\angle CPF$，则$\triangle APE\cong\triangle CPF(ASA)$，所以$AE = CF$，①正确；$PE = PF$，所以$\triangle PEF$是等腰直角三角形，②正确；$S_{四边形AEPF}=S_{\triangle AEP}+S_{\triangle AFP}=S_{\triangle CPF}+S_{\triangle AFP}=S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，④正确；$EF$长度随旋转变化，$AP$为定值，所以③错误。故填①②④。
14. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^\circ$，$\angle CAB-\angle B = 30^\circ$，点$P$是线段$BC$上的一个动点（点$P$不与点$B$，$C$重合），过点$P$作$PH\perp AB$，垂足为点$H$，连结$AP$，当点$Q$是线段$AP$上的中点时，连结$CQ$，$QH$，$\angle CQH$的度数会发生变化吗？请你作出判断，并说明理由。
答案：$\angle CQH$度数不变，为$60^\circ$。
理由：在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^\circ$，$\angle CAB+\angle B = 90^\circ$，又$\angle CAB-\angle B = 30^\circ$，解得$\angle CAB = 60^\circ$，$\angle B = 30^\circ$。因为$Q$是$AP$中点，在$Rt\triangle ACP$中，$CQ=\frac{1}{2}AP = AQ$，所以$\angle QCA=\angle QAC$；在$Rt\triangle AHP$中，$QH=\frac{1}{2}AP = AQ$，所以$\angle QAH=\angle QHA$。设$\angle QAC = x$，则$\angle QAH = 60^\circ - x$，$\angle CQH = 180^\circ - \angle AQC - \angle AQH$，$\angle AQC = 180^\circ - 2x$，$\angle AQH = 180^\circ - 2(60^\circ - x)=60^\circ + 2x$，所以$\angle CQH = 180^\circ-(180^\circ - 2x)-(60^\circ + 2x)=60^\circ$。
