学习力提升八年级数学浙教版
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12. 【概念学习】已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC，△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点。
【理解应用】（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”。
①内角分别为30°，60°，90°的三角形存在等角点：______；
②任意的三角形都存在等角点：______。
（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC=∠PBC，探究图①中，∠BPC，∠ABC，∠ACP之间的数量关系，并说明理由。
【解决问题】如图②，在△ABC中，∠BAC＜∠ABC＜∠ACB，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三个内角的度数。
答案：（1）①真命题；②假命题；
（2）∠BPC=∠ABC+∠ACP，理由：∵∠BAC=∠PBC，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠PBC+∠BPC+∠BCP=180°，∴∠BPC=∠BAC+∠ACB-∠ACP=∠ABC+∠ACP；
（3）∠BAC=45°，∠ABC=60°，∠ACB=75°
解析：设∠BAC=α，∠ABC=β，∠ACB=γ，α＜β＜γ。P为角平分线交点，∠PAB=α/2，∠PBA=β/2，∠PBC=β/2，∠PCB=γ/2，∠PCA=α/2。由等角点定义，α=β/2，β=γ/2，α+β+γ=180°，解得α=45°，β=60°，γ=75°。
