学习力提升八年级数学浙教版
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11.如图，BE，CD是$\triangle ABC$的中线.求证：$\triangle ADE$的面积是$\triangle ABC$的面积的$\frac{1}{4}$.
答案：证明：因为CD是$\triangle ABC$的中线，所以AD=$\frac{1}{2}$AC，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$。因为BE是$\triangle ABC$的中线，所以AE=$\frac{1}{2}$AB，$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。
12.$\triangle ABC$中，$\angle A=x^{\circ}$.
(1)如图1，PB，PC分别平分$\angle ABC$，$\angle ACB$，求$\angle BPC$（用x表示）.
(2)如图2，D在BC延长线上，PB，PC分别平分$\angle ABC$，$\angle ACD$.求$\angle BPC$（用x表示）.
(3)由(1)、(2)，你能归纳总结出什么结论？
答案：(1)$90^{\circ}+\frac{1}{2}x^{\circ}$
解析：$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-x^{\circ}$，因为PB，PC分别平分$\angle ABC$，$\angle ACB$，所以$\angle PBC+\angle PCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=90^{\circ}-\frac{1}{2}x^{\circ}$，$\angle BPC=180^{\circ}-(\angle PBC+\angle PCB)=90^{\circ}+\frac{1}{2}x^{\circ}$。
(2)$\frac{1}{2}x^{\circ}$
解析：$\angle ACD=\angle A+\angle ABC$，因为PC平分$\angle ACD$，所以$\angle PCD=\frac{1}{2}\angle ACD=\frac{1}{2}(\angle A+\angle ABC)$。因为PB平分$\angle ABC$，所以$\angle PBC=\frac{1}{2}\angle ABC$。$\angle BPC=\angle PCD-\angle PBC=\frac{1}{2}(\angle A+\angle ABC)-\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\angle A=\frac{1}{2}x^{\circ}$。
(3)三角形两内角平分线相交所成角等于$90^{\circ}$加上第三角的一半；三角形一内角平分线与另一外角平分线相交所成角等于第三角的一半。
