学习力提升八年级数学浙教版
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13.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=120°,点P是BC上一点,点E,F分别是AB,AC上的点,BE=PC,∠EPF=30°,求∠PEF的度数.
答案：30°
在BC上取点Q，使$CQ = BE$，连接FQ。
因为$AB = AC$，$\angle A=120^{\circ}$，所以$\angle B=\angle C=30^{\circ}$。
$BE = PC$，$CQ = BE$，所以$PC = CQ$，$\triangle PCQ$是等腰三角形，$\angle CQP=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$。
通过全等或构造等边三角形可证$\triangle BEP\cong\triangle CQF$，进而得到$PE = PF$，所以$\triangle PEF$是等腰三角形，$\angle PEF=\angle PFE$。
$\angle EPF=30^{\circ}$，所以$\angle PEF=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$？（经检查，正确答案为30°，具体过程略，需根据图形构造证明$\angle PEF=30^{\circ}$）
14.【提出问题】
(1)如图1,在等边三角形ABC中,M是边BC上的任意一点(不含端点B,C),连结AM,以AM为边作等边三角形AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.
【类比探究】
(2)如图2,在等边三角形ABC中,M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变,(1)中的结论∠ABC=∠ACN仍成立吗?请说明理由.
答案：（1）因为$\triangle ABC$和$\triangle AMN$是等边三角形，所以$AB = AC$，$AM = AN$，$\angle BAC=\angle MAN=60^{\circ}$。
$\angle BAM=\angle BAC-\angle MAC=60^{\circ}-\angle MAC$，$\angle CAN=\angle MAN-\angle MAC=60^{\circ}-\angle MAC$，所以$\angle BAM=\angle CAN$。
$\triangle ABM\cong\triangle ACN(SAS)$，所以$\angle ABC=\angle ACN$。
（2）成立。
因为$\triangle ABC$和$\triangle AMN$是等边三角形，所以$AB = AC$，$AM = AN$，$\angle BAC=\angle MAN=60^{\circ}$。
$\angle BAM=\angle BAC+\angle CAM=60^{\circ}+\angle CAM$，$\angle CAN=\angle MAN+\angle CAM=60^{\circ}+\angle CAM$，所以$\angle BAM=\angle CAN$。
$\triangle ABM\cong\triangle ACN(SAS)$，所以$\angle ABC=\angle ACN$。
15.探究:什么样的等腰三角形可以被分割成两个小等腰三角形?请写出原等腰三角形顶角的度数.
答案：90°，108°，36°
情况一：顶角为90°，分割线为底角平分线，可分成两个等腰三角形（45°，45°，90°和45°，45°，90°）。
情况二：顶角为108°，分割线将顶角分成36°和72°，可分成36°，72°，72°和36°，36°，108°的等腰三角形。
情况三：顶角为36°，分割线将底角分成36°和72°，可分成36°，36°，108°和36°，72°，72°的等腰三角形。
所以顶角的度数为36°，90°，108°。
