学习力提升八年级数学浙教版
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9.如图所示,在△ABC中,AB=BC,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点D,交AC于点F.
(1)若∠AFD=155°,求∠EDF的度数.
(2)若F是AC的中点,求证:∠CFD=1/2∠ABC.
答案：（1）因为$DF\perp BC$，所以$\angle FDC=90^{\circ}$。
$\angle AFD=155^{\circ}$，所以$\angle CFD=180^{\circ}-155^{\circ}=25^{\circ}$。
在$\triangle CFD$中，$\angle C=180^{\circ}-\angle FDC-\angle CFD=180^{\circ}-90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}$。
因为$AB = BC$，所以$\angle A=\angle C=65^{\circ}$，$\angle ABC=180^{\circ}-65^{\circ}×2=50^{\circ}$。
$DE\perp AB$，所以$\angle DEB=90^{\circ}$，四边形DEBD中，$\angle EDF=360^{\circ}-\angle DEB-\angle B-\angle FDB=360^{\circ}-90^{\circ}-50^{\circ}-90^{\circ}=130^{\circ}$？（错误）
正确：$\angle EDF=180^{\circ}-\angle AED-\angle AFD+\angle A$（复杂），直接计算：
$\angle DFC=25^{\circ}$，$\angle C=65^{\circ}$，$\angle ABC=50^{\circ}$。
$\angle EDF=180^{\circ}-\angle BED-\angle BDF+\angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}+50^{\circ}=50^{\circ}$。
（2）连接BF，因为$AB = BC$，F是AC中点，所以BF平分$\angle ABC$，$\angle CBF=\frac{1}{2}\angle ABC$。
$DF\perp BC$，所以$\angle CBF+\angle BFD=90^{\circ}$，$\angle CFD+\angle BFD=90^{\circ}$，所以$\angle CFD=\angle CBF=\frac{1}{2}\angle ABC$。
10.如图所示,在△ABC中,AB=BC,点D是△ABC的边BC上的点,且CD=AB,∠ADB=∠BAD,AE是△ABD的中线.求证:AC=2AE.
答案：延长AE至F，使EF=AE，连接DF。
因为AE是中线，所以$BE = DE$，又$\angle AEB=\angle FED$，所以$\triangle AEB\cong\triangle FED(SAS)$，$AB = DF$，$\angle B=\angle EDF$。
$AB = CD$，所以$DF = CD$。
$\angle ADB=\angle BAD$，所以$AB = BD$，$\angle BAD=\angle ADB$，$\angle ADC=\angle BAD+\angle B=\angle ADB+\angle EDF=\angle ADF$。
$AD = AD$，所以$\triangle ADF\cong\triangle ADC(SAS)$，所以$AC = AF = 2AE$。
11.(1)如图1,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,以AB为边作等边三角形ABD。求证:BC=1/2AB.
(2)如图2,BA平分∠CBD,BD=2BC,AB=AD.求证: .
答案：（1）取AB中点E，连接CE，因为$\angle C=90^{\circ}$，所以$CE=\frac{1}{2}AB=AE = BE$。
$\angle BAC=30^{\circ}$，所以$\angle B=60^{\circ}$，$\triangle BCE$是等边三角形，所以$BC = BE=\frac{1}{2}AB$。
（2）（题目不完整，无法证明，根据已知条件可证$\angle C=90^{\circ}$等，此处略）
