《2026年薪火金卷高考仿真模拟卷物理》

15. (18分)如图所示，在纸面内有一平面直角坐标系$xOy$，其第二象限内有一沿$y$轴负方向的界匀强电场，上边界$y=0.25\ \mathrm{m}$，下边界如图中虚线所示，电场强度大小$E=4\ \mathrm{V/m}$;第四象限同时存在沿$y$轴负方向的匀强电场和垂直于纸面向里的磁场，电场强度大小也为$E$，磁感应强度大小为$B=k|y|$，其中$k=4\ \mathrm{T/m}$。在$P(-1\ \mathrm{m},0)$处有一粒子源，以$v_{0}=4\ \mathrm{m/s}$的速度均匀地向$x$轴上方各个方向发射粒子，粒子的电荷量$q=+8×10^{-6}\ \mathrm{C}$、质量$m=1×10^{-6}\ \mathrm{kg}$。过$P$点有一圆形匀强磁场区域，能使占比$\frac{2}{3}$的粒子平行于$x$轴射入电场，经电场偏转后，全部通过原点$O$进入第四象限。不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，求：

(1)写出匀强电场边界OQ段的边界方程(粒子入射点的坐标$y$和$x$间的关系式);
(2)圆形磁场的半径和磁场强度大小；
(3)粒子从O点进入第四象限时，其速度方向与$x$轴正方向所成夹角的范围;粒子在第四象限运动过程的最大速率。

答案：
15. 解析
(1)粒子在电场中的加速度$a = \frac{qE}{m} = 32\ m/s^{2}$，
$x$方向：$-x = v_{0}t$，
$y$方向：$y = \frac{1}{2}at^{2}$，
解得$y = x^{2}(y \leq 0.25)$。
(2)由几何关系可知$r_{1} + r_{1}\sin30^{\circ} = 0.25\ m$，
可得$R = r_{1} = \frac{1}{6}\ m$；
由$qvB_{1} = m\frac{v^{2}}{r_{1}}$，
解得$B_{1} = 3\ T$。
(3)从$Q$点射入电场的粒子，到达$O$点时$v_{x1} = v_{0} = 4\ m/s$，$v_{y1} = \sqrt{2ay} = 4\ m/s$，
则$v_{1} = \sqrt{v_{x1}^{2} + v_{y1}^{2}} = 4\sqrt{2}\ m/s$，速度与$x$轴的夹角在$0^{\circ} \sim 45^{\circ}$；
水平方向动量定理$\sum qv_{y}B·\Delta t = \sum m\Delta v_{x}$，
即$\sum qv_{y}·\Delta t· k|y| = \sum m\Delta v_{x}$，
$q·\frac{1}{2}ky_{m}^{2} = mv_{m} - mv_{0}$，
由动能定理$qE· y_{m} = \frac{1}{2}mv_{m}^{2} - \frac{1}{2}mv_{1}^{2}$，
解得$y_{m} = 0.5\ m$，$v_{m} = 8\ m/s$。
答案
(1)$y = x^{2}(y \leq 0.25)$
(2)$R = \frac{1}{6}\ m$ $B_{1} = 3\ T$
(3)$0^{\circ} \sim 45^{\circ}$ $v_{m} = 8\ m/s$