《2026年薪火金卷高考仿真模拟卷物理》

15. (18分)为探究带电粒子对探测板的作用力，探究小组设计的一实验装置如图所示，粒子源$S$、加速器出口、速度选择器中线$CD$、$x$轴置于同一水平线上。坐标系的第Ⅰ象限全部和第Ⅳ象限部分区域内存在有界磁场，边界$OM$满足$y=-\sqrt{3}x$。探测板$PQ$与$x$轴平行，$P$点在$y$轴上，位置可调，$PQ$长度为$l$。粒子源$S$正对加速器出口，单位时间释放$N_0$个粒子，粒子初速度大小连续分布在0和$\sqrt{3}v_0$之间，经加速后从$C$点射入速度选择器，从$D$点射出后均从$O$点沿$x$轴正方向射入磁场，在磁场中偏转后射出边界$OM$，打到探测板$PQ$上的粒子均匀分布在探测板上并被探测板吸收。其中，初速度为0的粒子恰好沿中线$CD$射出速度选择器。已知粒子的质量为$m$、电荷量为$-q(q＞0)$，加速电压为$U=\frac{mv_0^2}{2q}$，速度选择器内的磁场和有界磁场的磁感应强度大小分别为$B_1$和$B_2$，方向垂直于纸面向里，$l=\frac{\sqrt{3}mv_0}{2qB_2}$。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用力，粒子不会与速度选择器的极板碰撞。
(1)求速度选择器的电场强度的大小$E$；
(2)求速度选择器间的极板长度$L$的可能值；
(3)调节探测板位置，稳定后，求粒子对探测板的平均作用力竖直分量的最大值$F_m$及对应的探测板位置$y$轴坐标。(该问结果用字母$N_0$、$q$、$B_2$和$l$表示)

答案：
15.解析
(1)对初速度为0的粒子，由动能定理可得$qU = \dfrac{1}{2}mv^2$，解得$v = v_0$，在速度选择器中受力平衡，则有$qE = qv_0B_1$，解得$E = v_0B_1$。
(2)从加速器发射粒子速度大小$v$连续分布在$v_0$和$2v_0$之间。在选择器中的运动可视为以$v_0$沿CD运动的匀速运动与以$v - v_0$运动的匀速圆周运动的合运动。要求粒子从D点射出后均从O点沿x轴射入磁场，则有$L = v_0nT = \dfrac{2n\pi mv_0}{qB_1}(n = 1,2,3·s)$。
(3)进入有界磁场的速度大小$v$连续分布在$v_0$和$2v_0$之间，半径为$R$和$2R$，其中$R = \dfrac{mv_0}{qB_2} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}l$，由几何关系可得$y_{P3} = y_{P2} - y_{P2P3} = 6R - 1.5R = 4.5R = 3\sqrt{3}l$，即对应y轴坐标为$-3\sqrt{3}l$；此时，粒子对探测板的平均作用力的竖直分量$F_m$最大，如图所示：此时Q点和$P_3$点对应粒子的速度分别为$2v_0$和$1.5v_0$，由题意可知，单位时间探测板接收到的粒子数$N = \dfrac{2v_0 - 1.5v_0}{2v_0 - v_0}N_0 = 0.5N_0$，在探测板上距$P_3$为$x$处，取$\Delta x \to 0$，在$t$时间内，根据动量定理可得$\Delta Ft = \Delta ntmv_x\cos30°$，其中$\Delta n = \dfrac{\Delta x}{l} × \dfrac{1}{2}N_0 = \dfrac{\Delta x}{\sqrt{3}R}N_0$，由几何关系得$3R_x = \dfrac{x}{\tan30°} + y_{P3} = \dfrac{x}{\tan30°} + 4.5R$，解得$R_x = \dfrac{\sqrt{3}x}{3} + 1.5R$，由$r = \dfrac{mv}{qB}$得$v_x = \dfrac{qB_2}{m}\left(\dfrac{\sqrt{3}x}{3} + 1.5R\right)$，联立解得$\Delta F = \dfrac{N_0}{2R}qB_2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}x + 1.5R\right)\Delta x$，积分可得$F_m = \sum\Delta F = \sum\dfrac{N_0}{2R}qB_2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}x + 1.5R\right)\Delta x$，解得$F_m = \dfrac{N_0}{2R}qB_2\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2 + \dfrac{\sqrt{3}}{8}R^2\right) = \dfrac{7\sqrt{3}}{16}N_0qB_2R = \dfrac{7}{8}N_0qB_2l$。
答案
(1)$E = v_0B_1$
(2)$L = \dfrac{2n\pi mv_0}{qB_1}(n = 1,2,3·s)$
(3)$F_m = \dfrac{7}{8}N_0qB_2l$，$-3\sqrt{3}l$