《2026年薪火金卷高考仿真模拟卷物理》

15. (19分)一游戏装置由倾角为$\theta=37°$的直轨道$AB$、半径为$R$的竖直螺旋圆轨道、水平轨道$BC$、$CE$构成,其竖直截面如图所示,$C$为圆轨道与水平轨道的切点,$B$、$C$、$D$、$E$处于同一水平面,各连接处平滑过渡。在$D$点有一质量为$m_2$的物块与劲度系数为$k$的轻质弹簧相连,弹簧的另一端$E$连在竖直墙壁上,弹簧处于原长。$G$为圆轨道上的一点,$OG$连线与$OC$夹角$\alpha=60°$。开始游戏时从斜面上$A$点静止释放质量为$m_1$的物块,物块$m_1$与斜面$AB$间的动摩擦因数为$\mu_1$,物块$m_1$、$m_2$与轨道$DE$的动摩擦因数均为$\mu_2$,其余接触面均光滑。已知$R=0.5 m$、$m_1=0.2 kg$、$m_2=0.3 kg$、$\mu_1=0.125$、$\mu_2=\frac{2}{3}$、$k=\frac{50}{3} N/m$,两物块均可视为质点,不计空气阻力,简谐运动的周期公式$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$,弹簧弹性势能的表达式$E_p=\frac{1}{2}kx^2$,$\sin37°=0.6$,$\cos37°=0.8$。

(1)若$AB$长$L=2.5 m$,求从$A$运动到$B$的时间;
(2)若物块$m_1$从斜面下滑后恰好能过圆轨道的最高点$H$,求过$G$点时轨道对物块的作用力大小$F_N$;
(3)若满足(2)中的条件,物块$m_1$与$m_2$碰撞粘在一起(碰撞时间极短),向右压缩弹簧到最短(弹簧始终在弹性限度内)。
①求此过程中摩擦力做的功;
②求从粘在一起到弹簧压缩到最短的时间。(结果可保留根号)

答案： 15.解析　
(1)从$A$到$B$过程中，根据牛顿第二定律可得$m_1g\sin\theta - \mu_1m_1g\cos\theta = m_1a$，
结合运动学规律$L = \frac{1}{2}at^2$，
联立解得$t = 1\ s$。
(2)恰好过最高点$H$，根据牛顿第二定律有$m_1g = m_1\frac{v_H^2}{R}$，
由$G$到$H$根据动能定理有$-m_1gR(1 + \cos\alpha) = \frac{1}{2}m_1v_H^2 - \frac{1}{2}m_1v_C^2$，
在$G$点由牛顿第二定律可得$F_{N} - m_1g\cos\alpha = m_1\frac{v_C^2}{R}$，
联立解得$F_{N} = 9\ N$。
(3)①由$C$到$H$根据动能定理可得$-m_1g· 2R = \frac{1}{2}m_1v_H^2 - \frac{1}{2}m_1v_C^2$，
解得$v_C = 5\ m/s$，
碰撞过程动量守恒，则有$m_1v_C = (m_1 + m_2)v$，
解得碰后共同速度$v = 2\ m/s$，
设碰后总质量为$m = m_1 + m_2 = 0.5\ kg$，从碰后共速到速度为零，根据能量守恒则有$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx_m^2 + \mu_2mgx_m$，
解得$x_m = 0.2\ m$，
所以$W_f = -\mu_2mgx_m = -\frac{2}{3}\ J$。
②两物块一起向右运动受力$F = kx + \mu_2mg$，可视为简谐运动的一部分，由$kA = kx_m + \mu_2mg$（$A$为简谐运动振幅），
解得$A = 0.4\ m$，
由$x_m = \frac{A}{2}$可知$D$点是简谐运动振幅一半的位置，两物块做简谐运动的周期$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{\sqrt{3}\pi}{5}\ s$，
物块由平衡位置开始运动时的振动方程为$x = A\sin\frac{2\pi}{T}t$，
设物块由平衡位置运动至第一次振幅一半位置的时间为$t_1$，则$\frac{A}{2} = A\sin\frac{2\pi}{T}t_1$，解得$t_1 = \frac{1}{12}T = \frac{\sqrt{3}\pi}{60}\ s$，
故两物块从粘在一起到弹簧压缩到最短的时间$t_2 = \frac{T}{4} - t_1 = \frac{\sqrt{3}\pi}{30}\ s$。
答案　
(1)$1\ s$
(2)$9\ N$
(3)①$-\frac{2}{3}\ J$　②$\frac{\sqrt{3}\pi}{30}\ s$