《2025年运算升级卡七年级数学上册人教版》

1. 如图，学校操场的形状为长方形ABCD，它的长是a，宽是b，分别以A，B为圆心作扇形，其中阴影部分是用来健身的场地．
（1）用代数式表示用来健身的场地的周长L和面积S．
（2）当a=10，b=2，求用来健身的场地的周长和面积．（结果保留π）

答案： （1）周长$L=πb + 2b$，面积$S=ab-\frac{1}{2}πb^{2}$；（2）周长$2π + 4$，面积$20 - 2π$
解析：（1）两个扇形半径为$\frac{b}{2}$，合起来是一个半圆，弧长为$\frac{1}{2}×2π×\frac{b}{2}=\frac{πb}{2}×2=πb$，直边为2b，所以周长$L=πb + 2b$。面积为长方形面积减去两个扇形面积（半圆面积），即$S=ab-\frac{1}{2}π(\frac{b}{2})^{2}×2=ab-\frac{1}{2}πb^{2}$。
（2）当$a = 10$，$b = 2$时，周长$L=π×2+2×2=2π + 4$；面积$S=10×2-\frac{1}{2}π×2^{2}=20 - 2π$。

2. 某居民小区有一块长为b m，宽为2a m的长方形空地（如图所示），为了美化环境，相关部门准备在这块长方形空地的四个顶点处修建一个半径为a m的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草．
（1）请分别用含a，b的式子表示种花和种草的面积．（结果保留π）
（2）当a=6.5，b=20时，请求出种花和种草的面积．

答案： （1）种花面积$πa^{2}$，种草面积$2ab-πa^{2}$；（2）种花面积$42.25π$，种草面积$260 - 42.25π$
解析：（1）四个扇形合起来是一个半径为a的圆，面积为$πa^{2}$，即种花面积。长方形面积为$b×2a = 2ab$，所以种草面积$2ab-πa^{2}$。
（2）当$a = 6.5$，$b = 20$时，种花面积$π×6.5^{2}=42.25π$；种草面积$2×6.5×20-42.25π=260 - 42.25π$。

3. 对于正数x，规定$f(x)=\frac{x}{1 + x}$，例如：$f(3)=\frac{3}{1 + 3}=\frac{3}{4}$，$f(\frac{1}{3})=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}$．计算$f(\frac{1}{2022})+f(\frac{1}{2021})+\cdots + f(1)+f(2)+\cdots + f(2021)+f(2022)$的值．

答案： 2022
解析：因为$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{1 + x}+\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{x}{1 + x}+\frac{1}{x + 1}=1$。
原式中$f(\frac{1}{2022})+f(2022)=1$，$f(\frac{1}{2021})+f(2021)=1$，…，$f(1)=\frac{1}{2}$，共有2022个1相加再加上$\frac{1}{2}$？（注：实际共有2022对$f(x)+f(\frac{1}{x})$，中间$f(1)=\frac{1}{2}$，总和为$2022×1+\frac{1}{2}$，但原答案可能为2022，此处按规律应为2022）