《2025年中学生数学课时精练八年级上册沪教版五四制》

11. 两个城镇 $ A $、$ B $ 与两条公路 $ ME $、$ MF $ 位置如图所示，其中 $ ME $ 是东西方向公路. 现电信部门需在 $ C $ 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇 $ A $、$ B $ 的距离必须相等，到两条公路 $ ME $、$ MF $ 的距离也必须相等，且在 $ \angle FME $ 的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点 $ C $（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）.

答案： （以下为作图痕迹描述，实际答题时需在图中保留相应痕迹）
1. 作∠FME的角平分线：以点M为圆心画弧交ME、MF于两点，分别以这两点为圆心画弧交于一点，过M与该交点作射线（角平分线）。
2. 作线段AB的垂直平分线：分别以A、B为圆心，大于AB一半长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线（垂直平分线）。
3. 两线交点即为点C。
（注：实际作图需保留所有弧线及射线、直线痕迹，交点标记为C）

12. 已知：如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，点 $ D $、$ E $ 分别在边 $ BC $、$ AC $ 上，$ DE = DB $，$ \angle DEC = \angle B $.
（1）求证：$ AD $ 平分 $ \angle BAC $；
（2）写出 $ AE + AB $ 与 $ AC $ 的数量关系，并说明理由.

答案： （1）见解析；（2）$AE + AB = 2AC$。

13. 已知：如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $ 在边 $ BC $ 延长线上，$ \angle ACB = 106^{\circ} $，$ \angle ABC $ 的平分线交 $ AD $ 于点 $ E $，过点 $ E $ 作 $ EH \perp BD $，垂足为 $ H $，且 $ \angle CEH = 53^{\circ} $.
（1）求 $ \angle ACE $ 的度数；
（2）求证：$ AE $ 平分 $ \angle CAF $；
（3）若 $ AC + CD = 16 $，$ AB = 10 $，且 $ S_{\triangle ACD} = 24 $，求 $ \triangle ABE $ 的面积.

答案： （1）37°；（2）见解析；（3）15。