《2025年中学生数学课时精练八年级上册沪教版五四制》

1. 下列各式中，互为有理化因式的是(C).

A.$\sqrt{a + b}$，$\sqrt{a - b}$
B.$\sqrt{5} - \sqrt{2}$，$\sqrt{5} - \sqrt{2}$
C.$\sqrt{x - 1}$，$\sqrt{x - 1}$
D.$-\sqrt{a} + \sqrt{b}$，$\sqrt{a} - \sqrt{b}$

答案： C

2. 下列计算中，正确的是(D).

A.$\sqrt{(a - b)^2} = a - b$
B.$-\sqrt{-a^3} = -a\sqrt{a}$
C.$\sqrt{12} ÷ (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2 - \sqrt{6}$
D.$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 1$

答案： D

3. 如$x$为实数，在“$(\sqrt{3} - 1)□ x$”的“$□$”中添上一种运算符号(在“$+$”“$-$”“$×$”“$÷$”中选择)，其运算结果是有理数，则$x$不可能是(C).

A.$\sqrt{3} - 1$
B.$\sqrt{3} + 1$
C.$3\sqrt{3}$
D.$1 - \sqrt{3}$

答案： C

4. $\sqrt{5} - 2\sqrt{3}$与$\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$互为有理化因式.

答案： $\sqrt{5} - 2\sqrt{3}$

5. 计算：$(3 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{3}) =$$6 + 3\sqrt{3}-2\sqrt{2}-\sqrt{6}$.

答案： $6 + 3\sqrt{3}-2\sqrt{2}-\sqrt{6}$

6. 计算：$(\sqrt{18} - 2\sqrt{2}) · \sqrt{\frac{1}{12}} =$$\frac{\sqrt{6}}{6}$.

答案： $\frac{\sqrt{6}}{6}$（或填写 box_underline 下的填空答案为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$）

7. 计算：$(\sqrt{12} - 2\sqrt{18})^2 =$$84 - 24\sqrt{6}$.

答案： $84 - 24\sqrt{6}$

8. 当$ab = 3$时，$\sqrt{a + b} ÷ \sqrt{ab^2 + a^2b}$的值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{3}$（或填 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 对应的选择项（若为选择题形式））。

9. 若$x = \sqrt{5} + 1$，$y = \sqrt{5} - 1$，则$\frac{x - y}{x^2 - y^2}$的值为$\frac{\sqrt{5}}{10}$.

答案： $\frac{\sqrt{5}}{10}$（或填为以有理化后形式表示的该值的其他等价形式对应的规范化简结果，如题目要求填空则直接填该最简形式）。

*10. 若实数$x$、$y$、$z$满足$2|x - y| + \sqrt{2y + z} + z^2 - z + \frac{1}{4} = 0$，则$x + y + z =$0.

答案： $0$

11. 计算：
(1) $(\frac{1}{2}\sqrt{3} + \sqrt{8})(\sqrt{8} - \frac{1}{2}\sqrt{3})$； (2) $\sqrt{2} × (\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{\sqrt{18} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$；
(3) $(\sqrt{5} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{2} + \sqrt{5})$； (4) $(1 + \sqrt{2})^{2024}(1 - \sqrt{2})^{2025}$；
(5) $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$； (6) $(\sqrt{ab} - \frac{ab}{a + \sqrt{ab}}) ÷ \frac{\sqrt{ab} - b}{a - b}(a ＞ 0)$.

答案：
(1)
$\begin{aligned}(&\frac{1}{2}\sqrt{3} + \sqrt{8})(\sqrt{8} - \frac{1}{2}\sqrt{3}) \\=& (\sqrt{8})^2 - (\frac{1}{2}\sqrt{3})^2 \\=& 8 - \frac{3}{4} \\=& \frac{32}{4} - \frac{3}{4} \\=& \frac{29}{4}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\sqrt{2} × (\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{\sqrt{18} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}} \\=& 2 + 1 - \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\=& 3 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\=& 3 - 1 \\=& 2\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(\sqrt{5} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{2} + \sqrt{5}) \\=& \sqrt{5} × 2\sqrt{2} + \sqrt{5} × \sqrt{5} - 3\sqrt{2} × 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} × \sqrt{5} \\=& 2\sqrt{10} + 5 - 12 - 3\sqrt{10} \\=& -7 - \sqrt{10}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&(1 + \sqrt{2})^{2024}(1 - \sqrt{2})^{2025} \\=& [(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})]^{2024} × (1 - \sqrt{2}) \\=& (1 - 2)^{2024} × (1 - \sqrt{2}) \\=& (-1)^{2024} × (1 - \sqrt{2}) \\=& 1 - \sqrt{2}\end{aligned}$
(5)
$\begin{aligned}&(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \\=& (a + 2\sqrt{ab} + b) - (a - 2\sqrt{ab} + b) \\=& 4\sqrt{ab}\end{aligned}$
(6)
$\begin{aligned}&(\sqrt{ab} - \frac{ab}{a + \sqrt{ab}}) ÷ \frac{\sqrt{ab} - b}{a - b} \\=& \frac{\sqrt{ab}(a + \sqrt{ab}) - ab}{a + \sqrt{ab}} × \frac{a - b}{\sqrt{ab} - b} \\=& \frac{a\sqrt{ab} + ab - ab}{a + \sqrt{ab}} × \frac{a - b}{\sqrt{ab} - b} \\=& \frac{a\sqrt{ab}}{a + \sqrt{ab}} × \frac{a - b}{\sqrt{ab} - b} \\=& a\end{aligned}$