《2025年中学生数学课时精练八年级上册沪教版五四制》

1. 已知 $a$、$b$、$c$ 分别是 $\triangle ABC$ 的三边长，化简：$\sqrt{(a - b + c)^2}+\sqrt{(a - b - c)^2}$。

答案： 解：因为a、b、c是△ABC的三边长，
所以a + c ＞ b，b + c ＞ a，
即a - b + c ＞ 0，a - b - c ＜ 0。
则原式 = |a - b + c| + |a - b - c|
= (a - b + c) + (b + c - a)
= a - b + c + b + c - a
= 2c。
结论：2c

2. 已知实数 $x$ 满足 $|\sqrt{2025}-x|+\sqrt{x - 2026}=x$，求 $x$ 的值。

答案： 由二次根式有意义的条件，得$x - 2026 \geq 0$，即$x \geq 2026$。
因为$\sqrt{2025} = 45$，且$x \geq 2026 ＞ 45$，所以$|\sqrt{2025} - x| = x - 45$。
原方程可化为：$x - 45 + \sqrt{x - 2026} = x$。
移项得：$\sqrt{x - 2026} = 45$。
两边平方：$x - 2026 = 45^2 = 2025$。
解得：$x = 2025 + 2026 = 4051$。
检验：当$x = 4051$时，$x - 2026 = 2025 \geq 0$，原方程左边$=|45 - 4051| + \sqrt{2025} = 4006 + 45 = 4051$，右边$= 4051$，左边=右边，成立。
故$x = 4051$。

3. 阅读下面解题过程。
例：化简 $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}$。
解：$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{2}+\sqrt{1})·(\sqrt{2}-\sqrt{1})}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{1})^2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1}=\sqrt{2}-1$。
请回答下列问题。
(1) 归纳：请直接写出下列各式的结果：
① $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=$$\sqrt{6} - \sqrt{5}$；② $\frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}=$$\sqrt{11} + \sqrt{10}$；
(2) 应用：化简 $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+·s+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}}$；
(3) 拓展：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+·s+\frac{1}{\sqrt{2n + 1}+\sqrt{2n - 1}}=$$\frac{1}{2}(\sqrt{2n+1} - 1)$(用含 $n$ 的式子表示，$n$ 为正整数)。

答案：
(1)
① $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$
② $\frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}} = \sqrt{11} + \sqrt{10}$
(2)
原式 $= (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + ·s + (\sqrt{2024} - \sqrt{2023})$
$= \sqrt{2024} - \sqrt{2}$
(3)
原式 $= \frac{1}{2} \left[ (\sqrt{3} - \sqrt{1}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) + ·s + (\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}) \right]$
$= \frac{1}{2} (\sqrt{2n+1} - 1)$