《2025年中学生数学课时精练八年级上册沪教版五四制》

3. 设 $ a $、$ b $、$ c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三条边，关于 $ x $ 的方程 $ \frac{1}{2}x^{2} + \sqrt{b}x + c - \frac{1}{2}a = 0 $ 有两个相等的实数根，方程 $ 3cx + 2b = 2a $ 的根为 $ x = 0 $.
(1)试判断 $ \triangle ABC $ 的形状；
(2)若 $ a $、$ b $ 为关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} + mx - 3m = 0 $ 的两个根，求 $ m $ 的值.

答案：
(1)
由方程$3cx + 2b = 2a$的根为$x = 0$，得$2a = 2b$，即$a = b$。
因为方程$\frac{1}{2}x^{2}+\sqrt{b}x + c-\frac{1}{2}a = 0$有两个相等的实数根，
所以$\Delta =(\sqrt{b})^{2}-4×\frac{1}{2}×(c - \frac{1}{2}a)=0$，
即$b - 2c + a = 0$。
把$a = b$代入$b - 2c + a = 0$，得$2a-2c = 0$，即$a = c$。
所以$a = b = c$，$\triangle ABC$是等边三角形。
(2)
因为$a$、$b$为关于$x$的方程$x^{2}+mx - 3m = 0$的两个根，且$a = b$，
所以方程$x^{2}+mx - 3m = 0$有两个相等的实数根，
则$\Delta = m^{2}-4×(- 3m)=0$，
即$m^{2}+12m = 0$，
$m(m + 12)=0$，
解得$m = 0$或$m=-12$。
当$m = 0$时，方程$x^{2}+mx - 3m = 0$为$x^{2}=0$，$a = b = 0$，不满足三角形边长条件，舍去。
所以$m=-12$。
综上，
(1)$\triangle ABC$是等边三角形；
(2)$m$的值为$-12$。

4. 如图，有一块长为 $ a $ m、宽为 $ b $ m 的长方形场地，计划在该场地上修建宽均为 $ x $ m 的两条互相垂直的道路，余下的四块长方形场地建成草坪.
(1)已知 $ a = 26 $，$ b = 15 $，且四块草坪的面积和为 $ 312 $ $ m^{2} $，则每条道路的宽为多少米？
(2)已知 $ a : b = 2 : 1 $，$ x = 2 $，且四块草坪的面积和为 $ 312 $ $ m^{2} $，则原来长方形场地的长和宽各为多少米？
(3)已知 $ a = 28 $，$ b = 14 $，要在场地上修建宽均为 $ 2 $ m 的纵横小路，场地中有 $ c $ 条水平方向的小路，$ d $ 条竖直方向的小路(其中 $ c ＞ 2 $，$ c $、$ d $ 为常数)，使草坪的总面积为 $ 120 $ $ m^{2} $，则 $ c^{2} + d^{2} = $32(直接写出答案).

答案：
(1) 原来长方形面积：26×15=390(m²)，道路面积：390-312=78(m²)。
两条道路面积和：26x+15x-x²=78，即x²-41x+78=0。
因式分解：(x-2)(x-39)=0，解得x=2或x=39(舍去)。
答：2米。
(2) 设b=k，则a=2k，草坪面积：2k·k - (2k·2 + k·2 - 2²)=312。
化简：2k²-6k+4=312，即k²-3k-154=0。
因式分解：(k-14)(k+11)=0，k=14(k=-11舍去)。
a=28，b=14。
答：长28米，宽14米。
(3) 草坪面积：(28-2d)(14-2c)=120，即(14-d)(7-c)=30。
c＞2，c、d为正整数，7-c=3，14-d=10(唯一符合)。
c=4，d=4，c²+d²=16+16=32。
答：32。