《2025年中学生数学课时精练八年级上册沪教版五四制》

13. 解下列方程：
(1) $\frac{3}{x - 1}-\frac{x + 2}{x^{2}-x}=0$；
(2) $\frac{2 - x}{x - 3}+\frac{1}{3 - x}=1$.

答案：
(1)
首先将分式方程 $\frac{3}{x - 1}-\frac{x + 2}{x^{2}-x}=0$ 化为整式方程，
因为 $x^{2}-x = x(x - 1)$，方程两边同乘 $x(x - 1)$ 得：
$3x-(x + 2)=0$
去括号得：$3x - x - 2 = 0$
合并同类项得：$2x-2 = 0$
移项得：$2x=2$
解得：$x = 1$
检验：当 $x = 1$ 时，$x(x - 1)=1×(1 - 1)=0$，
所以 $x = 1$ 是增根，原分式方程无解。
(2)
将分式方程 $\frac{2 - x}{x - 3}+\frac{1}{3 - x}=1$ 化为整式方程，
$\frac{2 - x}{x - 3}-\frac{1}{x - 3}=1$
方程两边同乘 $(x - 3)$ 得：
$2 - x-1=x - 3$
移项得：$-x - x=-3 - 2 + 1$
合并同类项得：$-2x=-4$
系数化为$1$得：$x = 2$
检验：当 $x = 2$ 时，$x - 3=2 - 3=-1\neq0$，
所以 $x = 2$ 是原分式方程的解。
综上，
(1)原分式方程无解；
(2)原分式方程的解为 $x = 2$。

14. 解下列方程：
(1) $\frac{x + 2}{x - 2}+1=\frac{16}{x^{2}-4}$；
(2) $\frac{2x}{x^{2}+2x - 3}+\frac{1}{x + 3}=1$；
(3) $\frac{x - 2}{x - 1}+\frac{x + 3}{x + 1}=1-\frac{2}{x^{2}-1}$.

答案：
(1)
方程$\frac{x + 2}{x - 2}+1=\frac{16}{x^{2}-4}$，给方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$得：
$(x + 2)^{2}+(x + 2)(x - 2)=16$
展开得$x^{2}+4x + 4+x^{2}-4 = 16$
合并同类项得$2x^{2}+4x-16 = 0$，即$x^{2}+2x - 8 = 0$
因式分解得$(x + 4)(x - 2)=0$
解得$x_{1}=-4$，$x_{2}=2$
检验：当$x = 2$时，$(x + 2)(x - 2)=0$，是增根舍去；当$x=-4$时，$(x + 2)(x - 2)\neq0$，所以原方程的解为$x=-4$。
(2)
方程$\frac{2x}{x^{2}+2x - 3}+\frac{1}{x + 3}=1$，对分母因式分解$x^{2}+2x - 3=(x + 3)(x - 1)$
给方程两边同乘$(x + 3)(x - 1)$得：
$2x+(x - 1)=(x + 3)(x - 1)$
展开得$2x+x - 1=x^{2}+2x - 3$
移项得$x^{2}+2x - 3-3x + 1 = 0$，即$x^{2}-x - 2 = 0$
因式分解得$(x - 2)(x + 1)=0$
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$
检验：当$x=-1$或$x = 2$时，$(x + 3)(x - 1)\neq0$，所以原方程的解为$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。
(3)
方程$\frac{x - 2}{x - 1}+\frac{x + 3}{x + 1}=1-\frac{2}{x^{2}-1}$，给方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$得：
$(x - 2)(x + 1)+(x + 3)(x - 1)=(x + 1)(x - 1)-2$
展开得$x^{2}-x - 2+x^{2}+2x - 3=x^{2}-1 - 2$
移项合并同类项得$x^{2}+x - 2 = 0$
因式分解得$(x + 2)(x - 1)=0$
解得$x_{1}=-2$，$x_{2}=1$
检验：当$x = 1$时，$(x + 1)(x - 1)=0$，是增根舍去；当$x=-2$时，$(x + 1)(x - 1)\neq0$，所以原方程的解为$x=-2$。
综上，答案依次为：
(1)$x=-4$；
(2)$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$；
(3)$x=-2$。

15. 当 $m$ 取何值时，分式方程 $\frac{2}{x}-\frac{x - m}{x^{2}-x}=1+\frac{1}{x - 1}$ 无实数根？

答案： $m ＜ \frac{7}{4}$或$m = 2$

16. 右面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
任务一：以上解题过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是去分母时，方程右边的常数项“1”没有乘以最简公分母$(x - 3)$；
任务二：该方程的正确根是$\frac{3}{2}$；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议：解分式方程后必须进行检验，确保所求的解不是增根
|解 方 程：$\frac{3}{x - 3}=1-\frac{3x}{3 - x}$.|
|----|
|解：去分母，得 $3 = 1 + 3x$，··············第一步|
|移项，得 $3x = 1 - 3$，···················· 第二步|
|合并同类项，得 $3x = - 2$，··············第三步|
|系数化为 $1$，得 $x = -\frac{2}{3}$.············ 第四步|
|检验：当 $x = -\frac{2}{3}$ 时，$x - 3 = -\frac{11}{3}\neq0$.|
|所以 $x = -\frac{2}{3}$ 是原方程的根.|

答案： 任务一：一；去分母时，方程右边的常数项“1”没有乘以最简公分母$(x - 3)$
任务二：$\frac{3}{2}$
任务三：解分式方程后必须进行检验，确保所求的解不是增根