《2025年中学生数学课时精练八年级上册沪教版五四制》

12. 解不等式：
(1) $2x - 1 ＞ \sqrt{5}x$； (2) $2(x + 1) - \sqrt{2} ＜ \sqrt{6}(x - 1)$.

答案：
(1)$x＜ - 2-\sqrt{5}$；
(2)$x＞5 + 2\sqrt{6}-\sqrt{3}-\sqrt{2}$。

思维与拓展
探究过程：观察下列各式及其验证过程.
(1) $2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}}$；(2) $3\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}}$.
验证：$2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2^2} × \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2^3}{3}} = \sqrt{\frac{(2^3 - 2) + 2}{3}} = \sqrt{\frac{2^3 - 2}{2^2 - 1} + \frac{2}{2^2 - 1}} = \sqrt{\frac{2(2^2 - 1)}{2^2 - 1} + \frac{2}{2^2 - 1}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}}$；
验证：$3\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3^2} × \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3^3}{8}} = \sqrt{\frac{3^3 - 3 + 3}{3^2 - 1}} = \sqrt{\frac{3(3^2 - 1) + 3}{3^2 - 1}} = \sqrt{\frac{3(3^2 - 1)}{3^2 - 1} + \frac{3}{3^2 - 1}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}}$.
(1) 按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，
猜想：$4\sqrt{\frac{4}{15}} =$$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$；$5\sqrt{\frac{5}{24}} =$$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$；
(2) 通过上述探究你能猜测出：$n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}} =$$\sqrt{n+\frac{n}{n^2 - 1}}$$(n ＞ 1$，且$n$为整数)，并验证你的结论.

答案：
(1) $\sqrt{4+\frac{4}{15}}$；$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$
(2) $\sqrt{n+\frac{n}{n^2 - 1}}$验证：左边$=n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}=\sqrt{n^2}·\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}=\sqrt{n^2·\frac{n}{n^2 - 1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2 - 1}}$右边$=\sqrt{n+\frac{n}{n^2 - 1}}=\sqrt{\frac{n(n^2 - 1)+n}{n^2 - 1}}=\sqrt{\frac{n^3 - n + n}{n^2 - 1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2 - 1}}$左边=右边，结论成立。