《2025年中学生数学课时精练八年级上册沪教版五四制》

14. 化简：
(1) $\sqrt{64}$； (2) $\sqrt{(-4)^{2}}$； (3) $\sqrt{81}$； (4) $\sqrt{0.0081}$.

答案：
(1)
$\because 8^2 = 64$，
$\therefore\sqrt{64}=8$。
(2)
先计算$(-4)^2 = 16$，
$\because4^2 = 16$，
$\therefore\sqrt{(-4)^{2}}=\sqrt{16}=4$。
(3)
$\because9^2 = 81$，
$\therefore\sqrt{81}=9$。
(4)
$\because0.09^2 = 0.0081$，
$\therefore\sqrt{0.0081}=0.09$。

15. 观察表格并回答下列问题.

(1) 表格中$x =$0.1，$y =$10；
(2) 由表格中数据，归纳总结：被开方数的小数点每向右移动两位，相应的算术平方根的小数点就向右移动一位；已知$\sqrt{0.0012}\approx 0.03464$，$\sqrt{2m}\approx 34.64$，则$m$的值为600.

答案：
(1)
$x = 0.1$；
$y = 10$；
(2)
右；
一；
$600$。

16. 在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为$400cm^{2}$的正方形区域修改为面积为$300cm^{2}$的长方形区域，且长、宽之比为$5:3$.
(1) 求原来正方形区域的边长；
(2) 求修改后长方形的周长；
(3) 铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断.

答案：
(1)设原正方形的边长为$x cm$，
由题意，得$x^{2} = 400$，
因为$20× 20 = 400$，
解得$x = \pm 20$（负值舍去）。
答:原正方形的边长为$20cm$。
(2)设矩形的长为$5y cm$，则宽为$3y cm$，
由题意，得$5y · 3y = 300$，
$15y^{2} = 300$，
$y^{2} = 20$，
因为$y\gt0$，
解得$y = 2\sqrt{5}$（负值舍去），
所以，矩形的长为：$5y = 10\sqrt{5}cm$，
宽为：$3y = 6\sqrt{5}cm$，
该矩形的周长为：$2(10\sqrt{5} + 6\sqrt{5}) = 32\sqrt{5}cm$。
(3)原正方形的周长为：$4 × 20 = 80cm$，
因为$80 = \frac{80\sqrt{5}}{ \sqrt{5}}\approx \frac{80× 2.236}{ \sqrt{5}}\approx \frac{178.88}{ \sqrt{5}}\gt 32\sqrt{5}\approx32×2.236\approx71.55$（或$80^{2} = 6400,{(32\sqrt{5})}^{2} = 5120,6400 \gt 5120$，所以$80 \gt 32\sqrt{5}$），
所以铁丝够用了。

思维与拓展
观察下列等式：
$S_{1}=\sqrt{1 + 1+\frac{1}{4}}$；$S_{2}=\sqrt{1 + 1+\frac{1}{4}}+\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}}$；$S_{3}=\sqrt{1 + 1+\frac{1}{4}}+\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}}+\sqrt{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}}$；$·s$；求$S_{10}$的值.

答案： 解题步骤：
1. 分析根号内表达式规律：
观察可得，$S_n$中第$k$项（$k=1,2,...,n$）为$\sqrt{1+\left(\frac{1}{k}\right)^2+\left(\frac{1}{k+1}\right)^2}$。
2. 化简根号项：
对第$k$项化简：
$ \sqrt{1+\left(\frac{1}{k}\right)^2+\left(\frac{1}{k+1}\right)^2} = 1 + \frac{1}{k(k+1)} $
（推导：展开右侧平方得$1+\frac{2}{k(k+1)}+\frac{1}{k^2(k+1)^2}$，与根号内表达式相等）。
3. 裂项求和：
$S_n$为前$n$项和：
$ S_n = \sum_{k=1}^n \left[1 + \frac{1}{k(k+1)}\right] = \sum_{k=1}^n 1 + \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) $
其中$\sum_{k=1}^n 1 = n$，$\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}$（裂项相消）。
4. 化简$S_n$表达式：
$ S_n = n + \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = \frac{n(n+2)}{n+1} $
5. 计算$S_{10}$：
代入$n=10$：
$ S_{10} = \frac{10 × (10+2)}{10+1} = \frac{120}{11} $
结论：$\boxed{\dfrac{120}{11}}$