《2025年中学生数学课时精练八年级上册沪教版五四制》

1. 化简$\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$结果正确的是(A)。

A.$3 + 2\sqrt{2}$
B.$3 - \sqrt{2}$
C.$17 + 12\sqrt{2}$
D.$17 - 12\sqrt{2}$

答案： A

2. 若$a = 1 - \sqrt{2}$，$b = -\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$，则$a$与$b$的关系是(B)。

A.互为相反数
B.相等
C.互为倒数
D.无法确定

答案： B

3. 下列说法中，正确的是(C)。

A.$\sqrt{2} ÷ (\sqrt{2} + \sqrt{6}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$
B.$2\sqrt{7} - 3\sqrt{5}$的有理化因式一定为$2\sqrt{7} + 3\sqrt{5}$
C.$a\sqrt{x} - b\sqrt{y}$与$a\sqrt{x} + b\sqrt{y}$互为有理化因式
D.$\sqrt{a - b}$的有理化因式可以是$\sqrt{a + b}$

答案： C

4. 若三角形的面积为$12$，一边长为$\sqrt{2} + 1$，则这条边上的高为(B)。

A.$12\sqrt{2} + 12$
B.$24\sqrt{2} - 24$
C.$12\sqrt{2} - 12$
D.$24\sqrt{2} + 24$

答案： B

5. $\sqrt{x} - 2$的一个有理因式为$\sqrt{x} + 2$，$\sqrt{x + 1}$的一个有理化因式为$\sqrt{x + 1}$。

答案： $\sqrt{x} + 2$；$\sqrt{x + 1}$

6. 分母有理化：(1) $\frac{1}{\sqrt{10} - 3} =$$\sqrt{10} + 3$；(2) $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} =$$4+\sqrt{15}$。

答案： (1）$\sqrt{10} + 3$；
(2)$4 + \sqrt{15$（或写为“$4+\sqrt{15}$” ）。

7. 已知$a = 2 - \sqrt{5}$，则$a$的倒数为$-2 - \sqrt{5}$。

答案： $-2 - \sqrt{5}$

8. 计算：(1) $\sqrt{125} + \frac{4}{2 - \sqrt{5}} =$$\sqrt{5} - 8$；(2) $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} =$$2\sqrt{3}$。

答案：
(1)$\sqrt{5} - 8$，
(2)$2\sqrt{3}$。

9. 不等式$(1 - \sqrt{3})x ＞ 1 + \sqrt{3}$的最大整数解是-4。

答案： -4

10. 若$x$是整数，且$\sqrt{x - 3} · \sqrt{5 - x}$有意义，那么$\sqrt{x - 3} · \sqrt{5 - x}$的值可以是0（或1）。

答案： 0（或1）

* 11. 比较大小：$\sqrt{3} - \sqrt{2}$＞$2 - \sqrt{3}$(填“$＞$”或“$＜$”)。

答案： $＞$

12. 把下列各式分母有理化：
(1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$； (2) $\frac{\sqrt{6}}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}$； (3) $\frac{2(a - 1)}{\sqrt{2a + 4}}$； (4) $\frac{-xy - y^2}{\sqrt{x + y}}$。

答案：
(1)
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} &= \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \\&= \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - 1} \\&= \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{6}}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}} &= \frac{\sqrt{6}(4\sqrt{3} - 3\sqrt{2})}{(4\sqrt{3} + 3\sqrt{2})(4\sqrt{3} - 3\sqrt{2})} \\&= \frac{4\sqrt{18} - 3\sqrt{12}}{48 - 18} \\&= \frac{12\sqrt{2} - 6\sqrt{3}}{30} \\&= \frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}\frac{2(a - 1)}{\sqrt{2a + 4}} &= \frac{2(a - 1) · \sqrt{2a + 4}}{(\sqrt{2a + 4})^2} \\&= \frac{2(a - 1)\sqrt{2a + 4}}{2a + 4} \\&= \frac{(a - 1)\sqrt{2a + 4}}{a + 2} \quad (或化为 \sqrt{2a + 4} × \frac{a - 1}{a + 2}, 合理即可)\end{aligned}$（因为$2a+4＞0$，所以也可以写成$\sqrt{2a + 4} × \frac{a - 1}{a + 2}$，不唯一）
(4)
$\begin{aligned}\frac{-xy - y^2}{\sqrt{x + y}} &= \frac{(-xy - y^2) · \sqrt{x + y}}{(\sqrt{x + y})^2} \\&= \frac{-y(x + y)\sqrt{x + y}}{x + y} \\&= -y\sqrt{x + y}\end{aligned}$