《2025年中学生数学课时精练八年级上册沪教版五四制》

15. 解下列方程：
(1)$\frac{2}{x}-\frac{3}{x+1}=2$； (2)$\frac{x}{2-x}-1=\frac{x-26}{3(x^{2}-4)}$.

答案：
(1) 方程两边同乘$x(x+1)$，得$2(x+1)-3x=2x(x+1)$
展开得$2x+2-3x=2x^2+2x$
整理得$2x^2+3x-2=0$
因式分解$(2x-1)(x+2)=0$
解得$x=\frac{1}{2}$或$x=-2$
检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$x(x+1)=\frac{3}{4}\neq0$；当$x=-2$时，$x(x+1)=2\neq0$
∴原方程的解为$x=\frac{1}{2}$，$x=-2$
(2) 原方程变形为$-\frac{x}{x-2}-1=\frac{x-26}{3(x-2)(x+2)}$
方程两边同乘$3(x-2)(x+2)$，得$-3x(x+2)-3(x^2-4)=x-26$
展开得$-3x^2-6x-3x^2+12=x-26$
整理得$6x^2+7x-38=0$
解得$x=2$或$x=-\frac{19}{6}$
检验：当$x=2$时，$3(x-2)(x+2)=0$（增根，舍去）；当$x=-\frac{19}{6}$时，$3(x-2)(x+2)\neq0$
∴原方程的解为$x=-\frac{19}{6}$

16. 将一条长为$20\mathrm{cm}$的铁丝剪成两段，并将这两段铁丝分别做成正方形.
(1) 要使这两个正方形的面积之和等于$17\mathrm{cm}^{2}$，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2) 两个正方形的面积之和可能等于$12\mathrm{cm}^{2}$吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.

答案：
(1)设其中一段铁丝长为$x\ cm$，则另一段长为$(20 - x)\ cm$。两个正方形边长分别为$\frac{x}{4}\ cm$和$\frac{20 - x}{4}\ cm$，面积之和为$\left(\frac{x}{4}\right)^2 + \left(\frac{20 - x}{4}\right)^2 = 17$。
整理得：$\frac{x^2 + (20 - x)^2}{16} = 17$，即$x^2 + 400 - 40x + x^2 = 272$，$2x^2 - 40x + 128 = 0$，$x^2 - 20x + 64 = 0$。
解得$x_1 = 8$，$x_2 = 16$。当$x = 8$时，$20 - x = 12$；当$x = 16$时，$20 - x = 8$。
两段长度分别为$8\ cm$和$12\ cm$。
(2)假设面积之和等于$12\ cm^2$，则$\left(\frac{x}{4}\right)^2 + \left(\frac{20 - x}{4}\right)^2 = 12$。
整理得：$\frac{x^2 + (20 - x)^2}{16} = 12$，即$2x^2 - 40x + 208 = 0$，$x^2 - 20x + 104 = 0$。
判别式$\Delta = (-20)^2 - 4 × 1 × 104 = 400 - 416 = -16 ＜ 0$，方程无实数根。
不能。

*17. 已知$x_{1}$、$x_{2}$是一元二次方程$4kx^{2}-4kx+k+1=0$的两个实数根：
(1) 请用含$k$的代数式表示：$x_{1}+x_{2}=$1，$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=$$\frac{k - 1}{2k}$；
(2) 是否存在实数$k$，使$(2x_{1}-x_{2})(x_{1}-2x_{2})=-\frac{3}{2}$成立? 若存在，求出$k$的值；若不存在，请说明理由；
(3) 直接写出使$\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}$的值为整数的实数$k$的整数值.

答案：
(1)
因为方程$4kx^{2}-4kx + k + 1 = 0$有两个实数根，所以$\begin{cases}\Delta=( - 4k)^{2}-4×4k(k + 1)\geqslant0\\4k\neq0\end{cases}$，
由$\Delta=( - 4k)^{2}-4×4k(k + 1)\geqslant0$得$16k^{2}-16k^{2}-16k\geqslant0$，即$-16k\geqslant0$，解得$k\lt0$。
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程两根为$x_1$和$x_2$，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}· x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$4kx^{2}-4kx + k + 1 = 0$中，$a = 4k$，$b=-4k$，$c = k + 1$，所以$x_{1}+x_{2}=-\frac{-4k}{4k}=1$，$x_{1}· x_{2}=\frac{k + 1}{4k}$。
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=1^{2}-2×\frac{k + 1}{4k}=1-\frac{k + 1}{2k}=\frac{2k-(k + 1)}{2k}=\frac{k - 1}{2k}$。
(2)
$(2x_{1}-x_{2})(x_{1}-2x_{2})=2x_{1}^{2}-4x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}=2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})-5x_{1}x_{2}$
将$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\frac{k - 1}{2k}$，$x_{1}· x_{2}=\frac{k + 1}{4k}$代入上式得：
$2×\frac{k - 1}{2k}-5×\frac{k + 1}{4k}=\frac{2(k - 1)}{2k}-\frac{5(k + 1)}{4k}=\frac{4(k - 1)-5(k + 1)}{4k}=\frac{4k-4-5k-5}{4k}=\frac{-k - 9}{4k}$
因为$(2x_{1}-x_{2})(x_{1}-2x_{2})=-\frac{3}{2}$，所以$\frac{-k - 9}{4k}=-\frac{3}{2}$，
$-2k-18=-12k$，
$10k = 18$，
$k=\frac{9}{5}$，
又因为$k\lt0$，所以不存在实数$k$，使$(2x_{1}-x_{2})(x_{1}-2x_{2})=-\frac{3}{2}$成立。
(3)
$\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{\frac{k - 1}{2k}}{\frac{k + 1}{4k}}=\frac{2(k - 1)}{k + 1}=\frac{2(k + 1)-4}{k + 1}=2-\frac{4}{k + 1}$
因为$\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}$的值为整数，且$k\lt0$，
当$k + 1=-1$，即$k=-2$时，$2-\frac{4}{-1}=6$；
当$k + 1=-2$，即$k=-3$时，$2-\frac{4}{-2}=4$；
当$k + 1=-4$，即$k=-5$时，$2-\frac{4}{-4}=3$。
所以$k$的整数值为$-2$，$-3$，$-5$。
综上，答案依次为：
(1)$1$；$\frac{k - 1}{2k}$；
(2)不存在；
(3)$-2$，$-3$，$-5$。