《2025年中学生数学课时精练八年级上册沪教版五四制》

1. 计算$\sqrt{\dfrac{1}{2}}÷\sqrt{\dfrac{1}{8}}$的结果为(A).

A.$2$
B.$\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

答案： A

2. 下列计算中，正确的是(B).

A.$2\sqrt{5}·3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$
B.$\sqrt{-9×\left(-\dfrac{1}{25}\right)}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}$
C.$\sqrt{-5}×\sqrt{-125}=\sqrt{-5×(-125)}$
D.$\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}}+\sqrt{y^{2}}=x + y$

答案： B

3. 一个矩形的长和宽分别是$3\sqrt{6}$、$2\sqrt{3}$，则它的面积是(B).

A.$20\sqrt{3}$
B.$18\sqrt{2}$
C.$17\sqrt{2}$
D.$16\sqrt{2}$

答案： B

4. 下列结论中，对于实数$a$、$b$，成立的个数有(B).
① $\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$； ② $\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=\sqrt{\dfrac{b}{a}}$； ③ $\sqrt{a^{2}}=\pm a$； ④ $\sqrt{a^{4}}=a^{2}$.

A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个

答案： B

5. $\sqrt{2}×\sqrt{3}=$$\sqrt{6}$. 6. $\sqrt{24}×\sqrt{54}=$$36$.

答案： 5. $\sqrt{6}$；6. $36$

7. $\sqrt{15}×\sqrt{\dfrac{5}{3}}=$5. 8. $2\sqrt{5a}×\sqrt{10a}=$$10\sqrt{2}a$.

答案： 7. 5；8. $10\sqrt{2}a$。

9. $4\sqrt{5}÷\left(-5\sqrt{1\dfrac{4}{5}}\right)=$-\dfrac{4}{3}. 10. $6\sqrt{27xy}÷\sqrt{\dfrac{x}{y}}=$18y\sqrt{3}.

答案： $-\dfrac{4}{3}$；$18y\sqrt{3}$

11. $\sqrt{\dfrac{3xy}{7}}×\left(-\dfrac{1}{2}\sqrt{28x^{2}y}\right)=$$-xy\sqrt{3x}$. 12. $\sqrt{18mn}·\sqrt{2m^{2}n^{4}}=$$6mn^{2}\sqrt{mn}$.

答案： $-xy\sqrt{3x}$，$6mn^{2}\sqrt{mn}$

13. 计算：$(3\sqrt{3}+2\sqrt{7})(3\sqrt{3}-2\sqrt{7})+(\sqrt{5}-2)^{2}=$8 - 4\sqrt{5}.

答案： $8 - 4\sqrt{5}$

14. 观察下列等式：① $\sqrt{1+\dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}}=1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{1 + 1}=1\dfrac{1}{2}$；② $\sqrt{1+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}}=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2 + 1}=1\dfrac{1}{6}$；③ $\sqrt{1+\dfrac{1}{3^{2}}+\dfrac{1}{4^{2}}}=1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3 + 1}=1\dfrac{1}{12}$.根据上面三个等式提供的信息，请猜想$\sqrt{1+\dfrac{1}{4^{2}}+\dfrac{1}{5^{2}}}$的结果为$1\dfrac{1}{20}$.
*15. 如果$\sqrt{5x + 8}$与$\sqrt{7}$是同类二次根式，那么$x$的最小正整数是4.

答案： 第14题
【解析】：观察等式①②③，发现规律：$\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{(n+1)^{2}}}=1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=1+\dfrac{1}{n(n+1)}$。
对于$\sqrt{1+\dfrac{1}{4^{2}}+\dfrac{1}{5^{2}}}$，$n=4$，则结果为$1+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}=1+\dfrac{5-4}{20}=1\dfrac{1}{20}$。
【答案】：$1\dfrac{1}{20}$
第15题
【解析】：同类二次根式要求被开方数相同。$\sqrt{7}$的被开方数是7，因此$\sqrt{5x+8}$化简后被开方数也应为7。
设$5x+8=7k^{2}$（$k$为正整数），则$x=\dfrac{7k^{2}-8}{5}$。
当$k=1$时，$x=\dfrac{7-8}{5}=-\dfrac{1}{5}$（非正整数，舍去）；
当$k=2$时，$x=\dfrac{28-8}{5}=\dfrac{20}{5}=4$（正整数，符合题意）。
故$x$的最小正整数是4。
【答案】：4
最终输出：
【解析】：观察规律得$\sqrt{1+\dfrac{1}{4^{2}}+\dfrac{1}{5^{2}}}=1+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}=1\dfrac{1}{20}$。
【答案】：$1\dfrac{1}{20}$
【解析】：由同类二次根式定义，设$5x+8=7k^2$，$k=2$时$x=4$。
【答案】：4

16. 计算：
(1) $\sqrt{18}×\sqrt{24}×\sqrt{27}$； (2) $\sqrt{xy}·\sqrt{x^{3}y}·\sqrt{xy^{2}}$；
(3) $\sqrt{3\dfrac{1}{3}}÷\left(\dfrac{2}{5}\sqrt{2\dfrac{1}{3}}\right)×\left(4\sqrt{1\dfrac{2}{5}}\right)$； (4) $\sqrt{\dfrac{a}{x}}·\left(-4x\sqrt{\dfrac{x}{b}}\right)·\left(\dfrac{1}{8}\sqrt{\dfrac{ab}{x}}\right)$；
(5) $\dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{n}{2m^{3}}}·\left(-\dfrac{1}{m}\sqrt{\dfrac{n^{3}}{m^{3}}}\right)÷\sqrt{\dfrac{n}{2m^{3}}}(m\gt0,n\gt0)$；
(6) $-3\sqrt{\dfrac{3m^{2}-3n^{2}}{2a^{2}}}÷\left(\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{m + n}{a^{2}}}\right)×\sqrt{\dfrac{a^{2}}{m - n}}(a\gt0)$.

答案：
(1) $\sqrt{18}×\sqrt{24}×\sqrt{27}=3\sqrt{2}×2\sqrt{6}×3\sqrt{3}=18\sqrt{36}=18×6=108$
(2) $\sqrt{xy}·\sqrt{x^{3}y}·\sqrt{xy^{2}}=\sqrt{xy·x^{3}y·xy^{2}}=\sqrt{x^{5}y^{4}}=x^{2}y^{2}\sqrt{x}$
(3) $\sqrt{3\dfrac{1}{3}}÷\left(\dfrac{2}{5}\sqrt{2\dfrac{1}{3}}\right)×\left(4\sqrt{1\dfrac{2}{5}}\right)=\sqrt{\dfrac{10}{3}}×\dfrac{5}{2\sqrt{\dfrac{7}{3}}}×4\sqrt{\dfrac{7}{5}}=\dfrac{5}{2}×4×\sqrt{\dfrac{10}{3}×\dfrac{3}{7}×\dfrac{7}{5}}=10\sqrt{2}$
(4) $\sqrt{\dfrac{a}{x}}·\left(-4x\sqrt{\dfrac{x}{b}}\right)·\left(\dfrac{1}{8}\sqrt{\dfrac{ab}{x}}\right)=-4x×\dfrac{1}{8}×\sqrt{\dfrac{a}{x}·\dfrac{x}{b}·\dfrac{ab}{x}}=-\dfrac{x}{2}·\dfrac{a}{\sqrt{x}}=-\dfrac{a\sqrt{x}}{2}$
(5) $\dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{n}{2m^{3}}}·\left(-\dfrac{1}{m}\sqrt{\dfrac{n^{3}}{m^{3}}}\right)÷\sqrt{\dfrac{n}{2m^{3}}}=-\dfrac{n}{m^{2}}·\sqrt{\dfrac{n^{3}}{m^{3}}}=-\dfrac{n}{m^{2}}·\dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{n}{m}}=-\dfrac{n^{2}\sqrt{nm}}{m^{4}}$
(6) $-3\sqrt{\dfrac{3m^{2}-3n^{2}}{2a^{2}}}÷\left(\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{m + n}{a^{2}}}\right)×\sqrt{\dfrac{a^{2}}{m - n}}=-2\sqrt{\dfrac{3(m - n)(m + n)}{2a^{2}}·\dfrac{a^{2}}{m + n}·\dfrac{a^{2}}{m - n}}=-2×\dfrac{a\sqrt{6}}{2}=-a\sqrt{6}$