《2025年中学生数学课时精练八年级上册沪教版五四制》

17. 计算：
(1) $ \frac{3}{2}\sqrt{5} - \frac{3}{4}\sqrt{5} + \frac{1}{3}\sqrt{5} $； (2) $ (-\sqrt{6})^{2} + 3\sqrt{3}×\sqrt{12} $.

答案：
(1)
$\frac{3}{2}\sqrt{5} - \frac{3}{4}\sqrt{5} + \frac{1}{3}\sqrt{5}$
$=(\frac{3}{2} - \frac{3}{4}+\frac{1}{3})\sqrt{5}$
$=(\frac{18 - 9 + 4}{12})\sqrt{5}$
$=\frac{13}{12}\sqrt{5}$
(2)
$(-\sqrt{6})^{2} + 3\sqrt{3}×\sqrt{12}$
$= 6 + 3\sqrt{3×12}$
$= 6 + 3\sqrt{36}$
$= 6 + 3×6$
$= 6 + 18$
$= 24$

18. 计算：
(1) $ \frac{1}{2}\sqrt{6}×4\sqrt{12}÷\frac{2}{3}\sqrt{2} $； (2) $ \frac{1}{2}\sqrt{75} - \frac{3}{4}\sqrt{6} + \frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{4}\sqrt{6} $.

答案：
(1)
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}\sqrt{6}×4\sqrt{12}÷\frac{2}{3}\sqrt{2}\\=&\left(\frac{1}{2}×4÷\frac{2}{3}\right)×\sqrt{6×12÷2}\\=&\left(2×\frac{3}{2}\right)×\sqrt{36}\\=&3×6\\=&18\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}\sqrt{75} - \frac{3}{4}\sqrt{6} + \frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{4}\sqrt{6}\\=&\frac{1}{2}×5\sqrt{3} + \left(-\frac{3}{4}\sqrt{6} + \frac{1}{4}\sqrt{6}\right) + \frac{3}{2}\sqrt{3}\\=&\frac{5}{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{6} + \frac{3}{2}\sqrt{3}\\=&\left(\frac{5}{2}\sqrt{3} + \frac{3}{2}\sqrt{3}\right) - \frac{1}{2}\sqrt{6}\\=&4\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{6}\end{aligned}$

* 19. 已知 $ a = \sqrt[x - y + 3]{x + 5} $ 是 $ x + 5 $ 的算术平方根，$ b = \sqrt[2x - y]{y + 3} $ 是 $ y + 3 $ 的立方根，求 $ a - b $ 的值.

答案： 根据题意，算术平方根的根指数为2，立方根的根指数为3，所以有：
$x - y + 3 = 2$，
$2x - y = 3$，
将第一个方程整理得：
$x - y = -1$，
将第二个方程与整理后的第一个方程联立，可以得到：
$x = 4$，
$y = 5$，
将$x$和$y$的值代入给定的式子中，得到：
$a = \sqrt{4 + 5} = 3$，
$b = \sqrt[3]{5 + 3} = 2$，
所以，
$a - b = 3 - 2 = 1$。

20. 已知 $ |2024 - a| + \sqrt{a - 2025} = a $，求 $ a - 2024^{2} $ 的值.

答案： 由题意，根号下的数非负，即：
$a - 2025 \geq 0$，
$a \geq 2025$。
因为$a \geq 2025$，所以$2024 - a ＜ 0$，绝对值$|2024 - a|$可以化简为$a - 2024$。
将绝对值$|2024 - a|$替换为$a - 2024$，原方程变为：
$a - 2024 + \sqrt{a - 2025} = a$，
$\sqrt{a - 2025} = 2024$。
对方程两边平方，得到：
$a - 2025 = 2024^{2}$，
$a = 2024^{2} + 2025$。
最后，求$a - 2024^{2}$的值：
$a - 2024^{2} = 2024^{2} + 2025 - 2024^{2} = 2025$。
答案为：$2025$。