《2025年中学生数学课时精练八年级上册沪教版五四制》

14. 请运用所学立方根的知识求解式中$x$的值：$\frac{1}{8}(1 - 2x)^3 + 1 = 0$.

答案： $x = \frac{3}{2}$。

15. 已知$a + 1$的算术平方根是$2$，$-27$的立方根是$b - 5$，$c - 3$的平方根是$\pm1$.
（1）求$a$、$b$、$c$的值；
（2）求$a + b + c$的平方根和立方根.

答案： （1）因为$a + 1$的算术平方根是$2$，所以$\sqrt{a + 1} = 2$，两边平方得$a + 1 = 4$，解得$a = 3$；
因为$-27$的立方根是$b - 5$，所以$\sqrt[3]{-27} = b - 5$，即$-3 = b - 5$，解得$b = 2$；
因为$c - 3$的平方根是$\pm1$，所以$\pm\sqrt{c - 3} = \pm1$，两边平方得$c - 3 = 1$，解得$c = 4$。
（2）由（1）知$a = 3$，$b = 2$，$c = 4$，所以$a + b + c = 3 + 2 + 4 = 9$。
$9$的平方根是$\pm3$，立方根是$\sqrt[3]{9}$。

思维与拓展
观察下表，回答下列问题.

(1)表格中$x=$12.6，$y=$0.126；
（2）用一句话描述你发现的规律：被开方数的小数点向左（右）移动3位时，立方根的小数点向左（右）移动1位；
（3）根据你发现的规律填空：已知$\sqrt[3]{0.2}\approx0.5848$，$\sqrt[3]{2}\approx1.260$，$\sqrt[3]{20}\approx2.714$.
① $\sqrt[3]{0.02}=$0.2714；②若$\sqrt[3]{a}\approx58.48$，则$a=$200000.

答案： （1）假设原表中给出的是$\sqrt[3]{2000} = x，\sqrt[3]{0.002} = y$之类的（由于原题未给具体表格，根据后面题目推测），因为$2000=10^3×2$，所以$\sqrt[3]{2000}=\sqrt[3]{10^{3}×2}=10\sqrt[3]{2}\approx10×1.26 = 12.6$，即$x = 12.6$；因为$0.002=\frac{2}{1000}$，所以$\sqrt[3]{0.002}=\sqrt[3]{\frac{2}{1^{3}×1000}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{10}\approx\frac{1.26}{10}=0.126$，即$y = 0.126$；（2）被开方数的小数点向左（右）移动$3$位时，立方根的小数点向左（右）移动$1$位；（3）①因为被开方数$0.02$相对于$0.2$，小数点向左移动了$1$位，而根据规律，要使立方根小数点移动合理，相当于被开方数看作从$2$变为$0.02$，小数点向左移动了$2$个$3 -$（这里以$3$位一组移动）相关的位置，可拆分考虑，从$2$到$0.2$小数点左移$1$位，立方根从$\sqrt[3]{2}\approx1.260$到$\sqrt[3]{0.2}\approx0.5848$，再从$0.2$到$0.02$，被开方数小数点左移$1$位，立方根小数点左移$\frac{1}{3}$位，所以$\sqrt[3]{0.02}\approx0.2668$（实际是$\sqrt[3]{0.02}=\sqrt[3]{2×0.01}=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{100}}\approx\frac{1.26}{4.64}\approx0.2714 - $（调整值），根据规律精确为$0.2668$不准确，正确应为$\sqrt[3]{0.02}=\sqrt[3]{20÷1000}=\frac{\sqrt[3]{20}}{10}\approx\frac{2.714}{10}=0.2714$）；所以$\sqrt[3]{0.02}=0.2714$；②因为$\sqrt[3]{0.2}\approx0.5848$，现在$\sqrt[3]{a}\approx58.48$，立方根小数点向右移动了$2$位，所以被开方数$a$相对于$0.2$，小数点应向右移动$2×3 = 6$位，所以$a = 200000$（$0.2$小数点右移$6$位为$200000$）；故答案依次为：（1）$12.6$；$0.126$；（2）被开方数的小数点向左（右）移动$3$位时，立方根的小数点向左（右）移动$1$位；（3）①$0.2714$；②$200000$。