《2025年人教金学典同步解析与测评高中物理必修第一册人教版》

例题 1 长 $ 100 \, m $ 的列车匀加速通过长 $ 1000 \, m $ 的隧道，列车刚进隧道时的速度是 $ 10 \, m/s $，完全出隧道时的速度是 $ 12 \, m/s $。根据以上条件回答下列问题。
（1）列车通过隧道时的加速度是多少？
（2）通过隧道所用时间是多少？
分析 题目中已知速度和位移，可以利用匀变速直线运动的速度和位移关系来求解，注意列车的长度不可忽略。列车的位移大小为 $ 1100 \, m $，而不是 $ 1000 \, m $。

答案：

解 （1）求列车的加速度时，因为已经知道初速度、末速度和位移，所以可以根据公式 $ v^{2} - v_{0}^{2} = 2ax $ 求加速度，即 $ a = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2x} = \frac{12^{2} - 10^{2}}{2 × 1100} \, m/s^{2} = 0.02 \, m/s^{2} $。

（2）通过隧道所用时间为 $ t = \frac{v - v_{0}}{a} = \frac{12 - 10}{0.02} \, s = 100 \, s $。

例题 2 有一个做匀变速直线运动的质点，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别为 $ x_{1} = 24 \, m $ 和 $ x_{2} = 64 \, m $，如图 2.3 - 15 所示，连续相等的时间为 $ t = 4 \, s $，求质点的初速度 $ v_{A} $ 和加速度 $ a $ 的大小。
分析 匀变速直线运动的所有推论都是在基本公式上推理得到的，灵活利用各种推论能使解题过程简化。

答案：

解 解法 1 由匀变速直线运动公式求解。

两段连续相等的时间 $ t = 4 \, s $，通过的位移分别为 $ x_{1} = 24 \, m $，$ x_{2} = 64 \, m $。题中涉及位移和时间，故对前一过程和整个过程分别应用位移公式

$ x_{1} = v_{A}t + \frac{1}{2}at^{2} $

$ x_{1} + x_{2} = v_{A}(2t) + \frac{1}{2}a(2t)^{2} $

由以上两式解得质点的加速度

$ a = \frac{x_{2} - x_{1}}{t^{2}} = \frac{64 - 24}{4^{2}} \, m/s^{2} = 2.5 \, m/s^{2} $

再由公式 $ x_{1} = v_{A}t + \frac{1}{2}at^{2} $ 得 $ v_{A} = 1 \, m/s $。

解法 2 利用推论 $ \Delta x = aT^{2} $ 求解。

由题意，$ T = t $，公式 $ \Delta x = at^{2} $，则

$ a = \frac{\Delta x}{t^{2}} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t^{2}} = \frac{64 - 24}{4^{2}} \, m/s^{2} $

$ = 2.5 \, m/s^{2} $

再由公式 $ x_{1} = v_{A}t + \frac{1}{2}at^{2} $ 得 $ v_{A} = 1 \, m/s $。