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16. (8 分)(2023·周口模拟)已知二次函数 $ y = x^{2} - 6x + 5 $.
(1)将其配方成顶点式,并写出它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(2)求出抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标.
(1)将其配方成顶点式,并写出它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(2)求出抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标.
答案：
(1)
$y=x^{2}-6x + 5$
$=x^{2}-6x+9 - 9 + 5$
$=(x - 3)^{2}-4$
开口方向：因为二次项系数$1\gt0$，所以开口向上。
顶点坐标：$(3,-4)$
对称轴：直线$x = 3$
(2)
当$y = 0$时，$x^{2}-6x + 5=0$
因式分解得$(x - 1)(x - 5)=0$
则$x - 1=0$或$x - 5=0$
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=5$
所以抛物线与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$和$(5,0)$
(1)
$y=x^{2}-6x + 5$
$=x^{2}-6x+9 - 9 + 5$
$=(x - 3)^{2}-4$
开口方向：因为二次项系数$1\gt0$，所以开口向上。
顶点坐标：$(3,-4)$
对称轴：直线$x = 3$
(2)
当$y = 0$时，$x^{2}-6x + 5=0$
因式分解得$(x - 1)(x - 5)=0$
则$x - 1=0$或$x - 5=0$
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=5$
所以抛物线与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$和$(5,0)$
17. (9 分)(2023·牡丹江)如图,抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(-1,0) $,$ B(4,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $.
(1)求抛物线对应的函数解析式,并直接写出顶点 $ P $ 的坐标；
(2)求 $ \triangle BCP $ 的面积.
(1)求抛物线对应的函数解析式,并直接写出顶点 $ P $ 的坐标；
(2)求 $ \triangle BCP $ 的面积.
答案：
(1) 将点$A(-1,0)$，$B(4,0)$代入$y=x^{2}+bx+c$，得
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\16 + 4b + c = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = -3 \\c = -4\end{cases}$
抛物线解析式为$y=x^{2}-3x-4$
$y=x^{2}-3x-4=(x-\frac{3}{2})^{2}-\frac{25}{4}$，顶点$P(\frac{3}{2},-\frac{25}{4})$
(2) 当$x=0$时，$y=-4$，$\therefore C(0,-4)$
设直线$BC$解析式为$y=kx + d$，将$B(4,0)$，$C(0,-4)$代入，得
$\begin{cases}4k + d = 0 \\d = -4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1 \\d = -4\end{cases}$
$\therefore$直线$BC$：$y=x - 4$
过点$P$作$PD\perp x$轴交$BC$于点$D$，$D$点横坐标为$\frac{3}{2}$
$\therefore D(\frac{3}{2},\frac{3}{2}-4)=(\frac{3}{2},-\frac{5}{2})$
$PD=|-\frac{5}{2}-(-\frac{25}{4})|=\frac{15}{4}$
$S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}× PD× (x_{B}-x_{C})=\frac{1}{2}×\frac{15}{4}×4=\frac{15}{2}$
(1) 将点$A(-1,0)$，$B(4,0)$代入$y=x^{2}+bx+c$，得
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\16 + 4b + c = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = -3 \\c = -4\end{cases}$
抛物线解析式为$y=x^{2}-3x-4$
$y=x^{2}-3x-4=(x-\frac{3}{2})^{2}-\frac{25}{4}$，顶点$P(\frac{3}{2},-\frac{25}{4})$
(2) 当$x=0$时，$y=-4$，$\therefore C(0,-4)$
设直线$BC$解析式为$y=kx + d$，将$B(4,0)$，$C(0,-4)$代入，得
$\begin{cases}4k + d = 0 \\d = -4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1 \\d = -4\end{cases}$
$\therefore$直线$BC$：$y=x - 4$
过点$P$作$PD\perp x$轴交$BC$于点$D$，$D$点横坐标为$\frac{3}{2}$
$\therefore D(\frac{3}{2},\frac{3}{2}-4)=(\frac{3}{2},-\frac{5}{2})$
$PD=|-\frac{5}{2}-(-\frac{25}{4})|=\frac{15}{4}$
$S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}× PD× (x_{B}-x_{C})=\frac{1}{2}×\frac{15}{4}×4=\frac{15}{2}$
18. (9 分)已知抛物线 $ y_{1} = x^{2} $ 与直线 $ y_{2} = -\frac{1}{2}x + 3 $ 相交于 $ A $,$ B $ 两点.
(1)求 $ A $,$ B $ 两点的坐标；
(2)点 $ O $ 为坐标原点,$ \triangle AOB $ 的面积等于
(3)当 $ y_{1} ＜ y_{2} $ 时,$ x $ 的取值范围是
(1)求 $ A $,$ B $ 两点的坐标；
(2)点 $ O $ 为坐标原点,$ \triangle AOB $ 的面积等于
$\frac{21}{4}$
；(3)当 $ y_{1} ＜ y_{2} $ 时,$ x $ 的取值范围是
$-2 ＜ x ＜ \frac{3}{2}$
.(1) 联立方程 $ x^2 = -\frac{1}{2}x + 3 $，整理得 $ 2x^2 + x - 6 = 0 $，因式分解为 $ (2x - 3)(x + 2) = 0 $，解得 $ x_1 = \frac{3}{2} $，$ x_2 = -2 $。
当 $ x = -2 $ 时，$ y = 4 $；当 $ x = \frac{3}{2} $ 时，$ y = \frac{9}{4} $。
∴ $ A(-2, 4) $，$ B\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) $。
当 $ x = -2 $ 时，$ y = 4 $；当 $ x = \frac{3}{2} $ 时，$ y = \frac{9}{4} $。
∴ $ A(-2, 4) $，$ B\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) $。
答案：
(1) 联立方程 $ x^2 = -\frac{1}{2}x + 3 $，整理得 $ 2x^2 + x - 6 = 0 $，因式分解为 $ (2x - 3)(x + 2) = 0 $，解得 $ x_1 = \frac{3}{2} $，$ x_2 = -2 $。
当 $ x = -2 $ 时，$ y = 4 $；当 $ x = \frac{3}{2} $ 时，$ y = \frac{9}{4} $。
∴ $ A(-2, 4) $，$ B\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) $。
(2) $ \frac{21}{4} $
(3) $ -2 ＜ x ＜ \frac{3}{2} $
(1) 联立方程 $ x^2 = -\frac{1}{2}x + 3 $，整理得 $ 2x^2 + x - 6 = 0 $，因式分解为 $ (2x - 3)(x + 2) = 0 $，解得 $ x_1 = \frac{3}{2} $，$ x_2 = -2 $。
当 $ x = -2 $ 时，$ y = 4 $；当 $ x = \frac{3}{2} $ 时，$ y = \frac{9}{4} $。
∴ $ A(-2, 4) $，$ B\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) $。
(2) $ \frac{21}{4} $
(3) $ -2 ＜ x ＜ \frac{3}{2} $
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