《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

21. (8分)某商店欲购进$A$、$B$两种足球,若购进$5个A$种足球,$3个B$种足球,共需$450$元. 若购进$10个A$种足球,$8个B$种足球,共需$1000$元.
(1)购进$A$、$B$两种足球每个各需多少元？
(2)该商店购进足够多的两种足球,在销售中发现,$A种足球售价为每个80$元,每天可销售$100$个. 现在决定对$A种足球在每个80$元的基础上降价销售,每降价$1$元,可多售出$20$个,该商店对$A种足球降价销售后每天销售量超过200$个；$B$种足球销售状况良好,每天可获利$7000$元. 为使销售$A$、$B两种足球每天总获利为10000$元,$A$种足球每个降价多少元？

答案：
(1)设购进A种足球每个$x$元，B种足球每个$y$元，根据题意得：
$\begin{cases}5x + 3y = 450 \\10x + 8y = 1000\end{cases}$
将第一个方程两边乘2得：$10x + 6y = 900$，与第二个方程相减：
$(10x + 8y)-(10x + 6y)=1000 - 900$，解得$y = 50$。
将$y = 50$代入$5x + 3×50 = 450$，解得$x = 60$。
(2)设A种足球每个降价$m$元，A种足球单件利润为$(80 - m - 60)=(20 - m)$元，销售量为$(100 + 20m)$个。
由题意得：$(20 - m)(100 + 20m)=10000 - 7000$，即$(20 - m)(100 + 20m)=3000$。
展开并整理：$-20m² + 300m + 2000 = 3000$，化简得$m² - 15m + 50 = 0$。
解得$m₁ = 5$，$m₂ = 10$。
因销售量超过200个，即$100 + 20m＞200$，得$m＞5$，故$m = 10$。
(1)A种足球每个60元，B种足球每个50元；
(2)A种足球每个降价10元。

22. (8分)已知关于$x的一元二次方程2x^{2}+(m - 2)x - m = 0$.
(1)求证：不论$m$为何实数,方程总有实数根；
(2)当$m = -7$时,此方程的两个根分别是菱形$ABCD$两条对角线长,求菱形$ABCD$的面积.

答案： 答题卡：
(1)证明：
对于一元二次方程 $2x^{2} + (m - 2)x - m = 0$，其判别式为：
$\Delta = (m - 2)^{2} - 4 × 2 × ( - m)= m^{2} - 4m + 4 + 8m = m^{2} + 4m + 4 = (m + 2)^{2}$，
由于 $(m + 2)^{2} \geq 0$，
所以，不论 $m$ 为何实数，方程总有实数根。
(2)
当 $m = -7$ 时，原方程为：
$2x^{2} - 9x +7 = 0$，
设方程的两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，由一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_1 × x_2 = \frac{c}{a}=\frac{7}{2}$，
由于菱形的面积等于两条对角线长度的乘积的一半，即：
$S = \frac{1}{2} × d_1 × d_2$，
其中 $d_1$ 和 $d_2$ 是菱形的两条对角线长度。
在这里，$d_1 = x_1$，$d_2 = x_2$，所以：
$S = \frac{1}{2} × x_1 × x_2 = \frac{1}{2} × \frac{7}{2} = \frac{7}{4} × 2 × \frac{1}{2} =\frac{7}{4}$（因为$x_1 × x_2 =\frac{7}{2}$为两条对角线长度乘积，而菱形面积为乘积一半），
综上，菱形$ABCD$ 的面积为$\frac{7}{4}$。